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Abi Baden-Württemberg 2013 Pflichtteil

Videolösungen

Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Aufgabe 9

Aufgabe

Aufgabe 1

Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion mit .

(2 VP)

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion mit .

Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion von mit .

(2 VP)

Aufgabe 3

Lösen Sie die Gleichung .

(2 VP)

Aufgabe 4

Gegeben sind die Funktionen und mit und .

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird.

(4 VP)

Aufgabe 5

Eine Funktion hat folgende Eigenschaften:

(1)
(2)
(3) und
(4) Für und gilt:

Beschreiben Sie für jede dieser vier Eigenschaften, welche Bedeutung sie für den Graphen von hat.
Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen.

(5 VP)

Aufgabe 6

Die Gerade verläuft durch die Punkte und .

Die Ebene wird von orthogonal geschnitten und enthält den Punkt .

Bestimmen Sie den Schnittpunkt von und .

Untersuchen Sie, ob zwischen und liegt.

(4 VP)

Aufgabe 7

Gegeben sind die beiden Ebenen

Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.

Die Ebene ist parallel zu und und hat von beiden Ebenen denselben Abstand.

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene .

(4 VP)

Aufgabe 8

Neun Spielkarten (vier Asse, drei Könige und zwei Damen) liegen verdeckt auf dem Tisch.

  1. Peter dreht zwei zufällig gewählte Karten um und lässt sie aufgedeckt liegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:

: Es liegt kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch.

: Eine Dame und ein Ass liegen aufgedeckt auf dem Tisch.

  1. Die neun Spielkarten werden gemischt und erneut verdeckt ausgelegt. Laura dreht nun so lange Karten um und lässt sie aufgedeckt auf dem Tisch liegen, bis ein Ass erscheint. Die Zufallsvariable gibt die Anzahl der aufgedeckten Spielkarten an.
    Welche Werte kann annehmen?
    Berechnen Sie .
    (4 VP)

Aufgabe 9

Gibt es eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph drei Wendepunkte besitzt? Begründen Sie Ihre Antwort.

(3 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Die Funktion ist ein Produkt von Funktionen . Die beiden Funktionen und sind dabei gegeben durch

Es gelten:
Nach der Produktregel kann nun die Ableitung der Funktion bestimmt werden:

Lösung zu Aufgabe 2

Für die Stammfunktion einer linear verketteten Funktion der Form

mit reellen Zahlen , und gilt:
falls eine Stammfunktion von ist. In diesem Fall gelten:
Für die Stammfunktion von gilt
Eine allgemeine Stammfunktion von lautet
Nun wird so bestimmt, dass die Forderung erfüllt ist. Es ist also folgende Gleichung zu lösen:
Die gesuchte Stammfunktion lautet damit:

Lösung zu Aufgabe 3

Durch Multiplikation der Gleichung mit wird der Term im Nenner beseitigt. Dies verändert wegen

die Lösungsmenge nicht. Man erhält also
Die Gleichung hat die Lösungsmenge .

Lösung zu Aufgabe 4

Schnittstellen von und

Gesucht sind die Lösungen der folgenden Gleichung

Mithilfe der Mitternachtsformel erhält man:
Die Graphen der Funktionen und schneiden sich also an den Stellen und .

Berechnung des Flächeninhalts

Im folgenden Schaubild sind die Graphen der Funktionen und und die von beiden Graphen eingeschlossene Fläche skizziert.

Der Flächeninhalt der, von den beiden Graphen eingeschlossenen, Fläche lässt sich als Integral der Differenz der Funktionen zwischen den Schnittstellen berechnen:
Der Flächeninhalt der, von den beiden Graphen eingeschlossenen, Fläche beträgt Flächeneinheiten.

Lösung zu Aufgabe 5

Die Aussagen haben folgende Bedeutung.

(1) : Der Graph von verläuft durch den Punkt .
(2) : Der Graph von hat an der Stelle eine waagrechte Tangente und damit an dieser Stelle einen Extrem- oder Sattelpunkt.
(3) und : Der Graph von hat an der Stelle einen Wendepunkt.
(4) Für und gilt: : Der Graph von hat eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung .

Die folgende Skizze enthält nur gegebene Informationen, es gibt weitere Möglichkeiten für den Verlauf des Graphen.

Lösung zu Aufgabe 6

Koordinatengleichung der Ebene

Eine Geradengleichung von lautet

Der Richtungsvektor von steht senkrecht auf die Ebene , kann also als Normalenvektor genutzt werden. Somit ist eine Koordinatengleichung von gegeben durch:
Da der Punkt in der Ebene liegt, muss gelten:
Damit ist eine Koordinatengleichung der Ebene gegeben durch:

Schnittpunkt von und

Der Schnittpunkt lässt sich bestimmen, indem man die Koordinaten des zum Parameter gehörigen Punktes auf in einsetzt und nach auflöst:

Nun können die Koordinaten des Punktes berechnet werden, indem in die Geradengleichung von eingesetzt wird:
Der Schnittpunkt der Gerade und Ebene hat die Koordinaten .

Lage des Punktes

Der Punkt liegt genau dann zwischen den Punkten und , wenn der Parameter zwischen und liegt. In diesem Fall ist , somit liegt nicht zwischen und .

Lösung zu Aufgabe 7

Parallelität der Ebenen und

Zwei Ebenen sind genau dann parallel, wenn die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind. Deshalb wird geprüft, ob die Normalenvektoren ein Vielfaches voneinander sind. Der Normalenvektor der Ebene lässt sich direkt ablesen und ist gegeben durch:

Ein Normalenvektor der Ebene kann zum Beispiel als Kreuzprodukt der Richtungsvektoren berechnet werden:
Es gilt:
Damit sind die beiden Ebenen und parallel.

Alternativer Weg: Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch:

Es gelten:
Somit steht der Normalenvektor der Ebene senkrecht zu den beiden Spannvektoren der Ebene . Somit sind die Ebenen entweder parallel oder identisch. Um den Fall, dass die beiden Ebenen identisch sind, auszuschließen, reicht eine Punktprobe aus. Hierfür wird beispielsweise ein beliebiger Punkt der Ebene gewählt und überprüft, ob dieser auf der Ebene liegt. Für die Koordinaten des Stützvektors aus der gegebenen Parametergleichung ergibt sich zum Beispiel:
Die Punktprobe ist negativ. Daraus folgt, dass und parallel und nicht identisch sind.

Koordinatengleichung der Ebene

Die Ebene ist ebenfalls parallel zu bzw. . Damit kann der Normalenvektor von als Normalenvektor von gewählt werden:

Nun wird noch ein Punkt, der in liegt, benötigt. Dieser kann der Mittelpunkt jeder beliebigen Strecke zwischen einem Punkt auf und einem Punkt auf sein.

Ein beliebiger Punkt von lässt sich berechnen, indem man zwei Koordinaten frei wählt, beispielsweise , und entsprechend die 3. Koordinate bestimmt:

Der Punkt liegt auf der Ebene und ein Punkt von lautet .

Somit gilt für den Mittelpunkt dieser Strecke:

Deshalb ist eine Normalengleichung der Ebene gegeben durch:
Die Koordinatenform lautet:

Lösung zu Aufgabe 8

Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten betragen

  1. Bei dem Experiment handelt es sich um ein zweimaliges Ziehen ohne Zurücklegen.

Wahrscheinlichkeit von

Bei dem Ereignis werden die Karten unterschieden zwischen "Ass" und "kein Ass". Dabei gilt bei der ersten umgedrehten Karte

Ist die erste umgedrehte Karte kein Ass, so ist diese Wahrscheinlichkeit für die zweite Karte nur noch . Folglich lautet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis :

Alternativer Weg:

Jede Kombination zweier Karten ist gleich wahrscheinlich, hierfür gibt es Möglichkeiten. Da es Karten gibt, die kein Ass sind, umfasst das Ereignis davon genau Möglichkeiten. Somit gilt:

Wahrscheinlichkeit von

Bei dem Ereignis unterscheidet man zwischen "Dame"beim ersten Zug, "Ass"beim zweiten Zug und umgekehrt. Damit gilt

Alternativer Weg:

Da vier Asse und zwei Damen vorhanden sind, gibt es Möglichkeiten, zwei Karten auszuwählen, sodass eine eine Dame und eine ein Ass ist. Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit von :

  1. Wird gleich beim ersten Drehen ein "Ass"aufgedeckt, dann ist . Deckt man erst die anderen Karten auf und hat erst beim sechsten Drehen ein "Ass" so ist . Unter den ersten aufgedeckten Karten ist auf jeden Fall ein Ass, sodass größere Werte nicht möglich sind. Also kann die Zufallsvariable folgende Werte annehmen:
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, höchstens Karten auf dem Tisch zu haben, beträgt:

Alternativer Weg:

Das Gegenereignis, dass mehr als Karten aufgedeckt werden, tritt genau dann ein wenn die ersten beiden Karten kein Ass sind. Die Wahrscheinlichkeit hierfür wurde bereits in Teilaufgabe a) berechnet, folglich ist

Lösung zu Aufgabe 9

Der Graph einer Funktion hat an einer Stelle genau dann einen Wendepunkt, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt.

Die zweite Ableitung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist eine Funktion zweiten Grades:

Die Gleichung
kann maximal zwei Lösungen haben. Folglich kann der Graph einer Funktion vierten Grades höchstens zwei Wendepunkte besitzen.