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Abi Baden-Württemberg 2013 Wahlteil A1

Videolösungen

Aufgabe 1a
Aufgabe 1b
Aufgabe 2

Aufgabe

Aufgabe 1

Der Querschnitt eines Meter langen Bergstollens wird beschrieben durch die \mbox{-Achse} und den Graphen der Funktion mit

  1. An welchen Stellen verlaufen die Wände des Stollens am steilsten?
    Welchen Winkel schließen die Wände an diesen Stellen mit der Horizontalen ein?
    Nach einem Wassereinbruch steht das Wasser im Stollen hoch.
    Wie viel Wasser befindet sich in dem Stollen?
    (6 VP)
  2. Im Stollen soll in Höhe eine Lampe aufgehängt werden.
    Aus Sicherheitsgründen muss die Lampe mindestens von den Wänden entfernt sein.
    Überprüfen Sie, ob dieser Abstand eingehalten werden kann.
    (3 VP)
  3. Ein würfelförmiger Behälter soll so in den Stollen gestellt werden, dass er auf einer seiner Seitenflächen steht.
    Wie breit darf der Behälter höchstens sein?
    (3 VP)

Aufgabe 2

Für jedes ist eine Funktion gegeben durch


Für welche Werte von besitzt mehr als eine Nullstelle?

(3 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Steilste Stellen der Wände des Stollens
    Im folgenden Schaubild ist eine Skizze des Graphen abgebildet.

    Die Funktion hat die Nullstellen und bei . Die Wand des Stollens schließt mit der -Achse ab. Die Funktion ist ganzrational und der Funktionsterm enthält nur Potenzen von mit geraden Exponenten. Der Graph der Funktion ist folglich symmetrisch zur -Achse. Die steilsten Stellen der Wände sind genau die Stellen, an denen der Graph der Funktion die betragsmäßig größte Steigung aufweist. Diese Stellen sind Wendestellen des Graphen von beziehungsweise Extremstellen der Funktion . Zunächst gilt für die ersten beiden Ableitungen von :
    Die Nullstellen von sind die Lösungen der Gleichung:
    Die Ränder des Definitionsbereiches befinden sich bei:
    Weil der Funktionsterm nur Potenzen von mit ungeraden Exponenten enthält, ist der Graph von punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Darum gilt:
    Also ist nur für und zu überprüfen, an welchen Stellen der Betrag der Steigung am größten ist:

    Die steilsten Stellen der Wände des Stollens liegen also bei und bei .

    Winkel zwischen Wand und Horizontale

    Um den Winkel zu bestimmen, den die Wand des Stollens an den steilsten Stellen mit der Horizontalen einschließt, wird der Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von an den schon bestimmten Stellen berechnet. Die Formel zur Berechnung des Steigungswinkels der Tangente durch lautet:

    Wegen der Symmetrie des Graphen von genügt es, lediglich die Stelle
    zu betrachten:
    Die Wände des Stollens schließen mit der Horizontalen an den beiden steilsten Stellen jeweils einen Winkel von ungefähr ein.

    Wassermenge im Stollen

    Das Wasser steht im Stollen hoch.

    Um die Wassermenge, die sich im Stollen befindet, zu bestimmen, ist zunächst der vom Wasser ausgefüllte Teil des Stollenquerschnitts zu berechnen. Dazu wird der Flächeninhalt der Gesamtfläche bestimmt, die der Graph von mit der -Achse einschließt. Von dieser Gesamtfläche wird der Inhalt der Teilfläche zwischen dem Graphen von und der Geraden abgezogen.
    Für diese Berechnungen werden also die Nullstellen von im Intervall benötigt. Sie liegen am Rand des Definitionsbereiches:
    Für die Gesamtfläche , die der Graph von mit der -Achse einschließt ergibt sich also
    Zur Berechnung der Teilfläche zwischen dem Graphen von und der Geraden werden die Schnittstellen des Graphen von mit der Geraden im Intervall benötigt. Diese lassen sich mithilfe eines GTR bestimmen oder aber indem man die biquadratische Gleichung mithilfe der Substition löst:
    Da im Definitionsbereich gilt, kommt nur der kleinere Wert infrage. Somit erhält man die Schnittstellen:
    Damit lässt sich der Flächeninhalt der Teilfläche berechnen:
    Für den vom Wasser ausgefüllten Teil des Stollenquerschnitts ergibt sich nun:

    Um nun die gesamte Wassermenge , die sich im Stollen befindet, zu bestimmen, muss diese Fläche mit der Länge des Stollens multipliziert werden. Für das Wasservolumen ergibt sich also:
    Damit befinden sich nach dem Wassereinbruch ungefähr Wasser im Stollen.
  2. Abstand der Lampe zu den Wänden

    Die Lampe soll in Höhe aufgehängt werden und muss mindestens von den Wänden entfernt sein. Es wird überprüft, ob die Lampe in der Mitte des Stollens im Punkt aufgehängt werden kann.
    Dafür wird mit Hilfe des Satz des Pythagoras eine Funktion aufgestellt, welche den Abstand von zu einem Punkt in Abhängigkeit von u angibt:
    Der minimale Abstand von der Lampe zu den Wänden ist nun das Minimum der Funktion im Intervall und wird mithilfe eines GTR ermittelt, wobei auch die Randwerte zu berücksichtigen sind:
    Es gelten:
    Der kleinste Abstand der Lampe zu den Wänden beträgt also .
    Der geforderte Mindestabstand von kann daher eingehalten werden.
  3. Würfelförmiger Behälter

    Ein würfelförmiger Behälter, der in den Stollen gestellt wird, hat genau dann die größtmögliche Breite, wenn sein Querschnitt symmetrisch zur -Achse ist und er dabei rechts und links die Wände des Stollens berührt.
    Im folgenden Schaubild ist der Sachverhalt skizziert.

    Da es sich um einen würfelförmigen Behälter handelt, ist der Querschnitt dieses Behälters ein Quadrat, dessen eine Ecke ist. Dann gilt für die Höhe des Behälters:
    Aus den genannten Symmetriegründen muss beim Lösen dieser Gleichung nur der Bereich betrachtet werden. Dann ergibt sich mithilfe eines GTR:
    Nun ist noch zu beachten, dass die Breite des Behälters beträgt. Deshalb kann der Behälter höchstens ca. breit sein.

Lösung zu Aufgabe 2

Nullstellen von

Zu bestimmen sind die Werte für , für die mehr als eine Nullstelle besitzt.
Betrachtet wird also die Anzahl der Lösungen der Gleichung

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist, also:
Aus ergibt sich somit, dass unabhängig von stets eine Nullstelle von ist.
Eine weitere Nullstelle ist gegeben durch
Für existiert eine weitere Nullstelle .
Nun ist noch der Fall zu betrachten, dass die beiden Lösungen zusammenfallen:
Also fallen die Lösungen für zusammen.
Für alle mit besitzt die Funktion mehr als eine Nullstelle.