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Abi Baden-Württemberg 2014 Wahlteil B2

Videolösungen

Aufgabe 1a
Aufgabe 1b

Aufgabe

Aufgabe B 2.1

An einer rechteckigen Platte mit den Eckpunkten , , und ist im Punkt ein langer Stab befestigt, der in positive -Richtung zeigt.
Eine punktförmige Lichtquelle befindet sich zunächst im Punkt
(Koordinatenangaben in ).

  1. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene , in der die Platte liegt.
    Stellen Sie die Platte, den Stab und die Lichtquelle in einem Koordinatensystem dar.
    Berechnen Sie den Winkel zwischen dem Stab und der Platte.
    Teilergebnis: }
    (3 VP)
  2. Der Stab wirft einen Schatten auf die Platte.
    Bestimmen Sie den Schattenpunkt des oberen Endes des Stabes.
    Begründen Sie, dass der Schatten vollständig auf der Platte liegt.
    (3 VP)
  3. Die Lichtquelle bewegt sich von aus auf einer zur -Ebene parallelen Kreisbahn, deren Mittelpunkt das obere Ende des Stabes ist. Dabei kollidiert die Lichtquelle mit der Platte.
    Berechnen Sie die Koordinaten der beiden möglichen Kollisionspunkte.
    (3 VP)

Aufgabe B 2.2

Bei der Produktion von Bleistiften beträgt der Anteil fehlerhafter Stifte erfahrungsgemäß .

  1. Ein Qualitätsprüfer entnimmt der Produktion zufällig Bleistifte. Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte in dieser Stichprobe.
    Berechnen Sie .
    Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht der Wert von um weniger als vom Erwartungswert von ab?
    (3 VP)
  2. Der Betrieb erwirbt eine neue Maschine, von der behauptet wird, dass höchstens der von ihr produzierten Bleistifte fehlerhaft sind. Diese Hypothese soll mithilfe eines Tests an zufällig ausgewählten Stiften überprüft werden.
    Bei welchen Anzahlen fehlerhafter Stifte entscheidet man sich gegen die Hypothese, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal betragen soll?
    (3 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe B 2.1

  1. Darstellung im Koordinatensystem

    Koordinatengleichung von

    Ein Normalenvektor der Ebene lässt sich beispielsweise als Kreuzprodukt von zwei Spannvektoren der Ebene bestimmen:

    Da auch jedes Vielfache davon senkrecht auf steht, wird folgender Normalenvektor der Ebene benutzt
    Ein Ansatz für eine Koordinatengleichung von ist:
    Der Wert des Parameters lässt sich bestimmen, indem man zum Beispiel die Koordinaten des Punktes , der in liegt, einsetzt:
    Eine Koordinatengleichung der Ebene lautet:

    Winkel zwischen Stab und Platte

    Der Stab zeigt laut Aufgabe in positive -Richtung. Somit verläuft der Stab in Richtung des Vektors

    Der Winkel zwischen dem Stab und der Ebene kann nun mit Hilfe der Formel für die Winkelberechnung zwischen einer Geraden und einer Ebene berechnet werden:
    Der Winkel zwischen dem Stab und der Platte beträgt ungefähr .
  2. Koordinaten des Schattenpunkts
    Da der Stab lang ist, im Punkt befestigt ist und in positive -Richtung zeigt, befindet sich das obere Ende des Stabes im Punkt .
    Um den Schattenpunkt des oberen Endes zu bestimmen, wird eine Gerade durch den Punkt und das obere Ende des Stabes gebildet:

    Der Schattenpunkt der Stabspitze ist nun der Schnittpunkt von und der Ebene :
    Wird jetzt in die Gleichung der Gerade eingesetzt, ergibt sich der gesuchte Schattenpunkt :
    Der Schattenpunkt hat die Koordinaten .

    Lage des Schattens

    Mit Hilfe der Eckpunkte der Platte beziehungsweise des Rechtecks wird deutlich, dass ein Punkt auf der Platte liegt, wenn gilt:

    Da die Koordinaten vom Schattenpunkt diese Bedingungen erfüllen, liegt dieser auf der Platte. Weiterhin liegt das andere Ende des Schattens, nämlich der Punkt auf der Kante der Platte.
    Somit liegt der gesamte Schatten auf der Platte.
  3. Da die -Koordinaten der Punkte und jeweils den Wert haben, liegt die Kreisbahn der Lichtquelle in der zur -Ebene parallelen Ebene . Die Lichtquelle bewegt sich von aus auf dieser Kreisbahn. Somit gilt für den Radius der Kreisbahn:

    Die Kollisionspunkte müssen also auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen und liegen und zusätzlich vom Mittelpunkt den Abstand haben. Zunächst wird also die Schnittgerade bestimmt. Da die Ebenen und beide parallel zur -Achse verlaufen und der Punkt in beiden Ebenen liegt, ergibt sich die folgende Geradengleichung von :
    Nun sind diejenigen Punkte auf gesucht, die zu den Abstand haben, also
    Gesucht sind also die Lösungen der Gleichung:
    Somit ergeben sich als mögliche Kollisionspunkte:
    Die Lichtquelle kollidiert also entweder im Punkt oder im Punkt mit der Platte.

    Alternativer Weg: Die Koordinaten eines Kollisionspunktes lassen sich auch nacheinander direkt mithilfe der Voraussetzungen berechnen.
    So gilt , da sich die Lichtquelle parallel zur -Ebene auf der Höhe bewegt.
    Einsetzen in die Koordinatengleichung der Ebene ergibt nun:


    Letztendlich muss der Punkt zum Punkt den gleichen Abstand haben wie zum Punkt , es gilt also:
    Somit kann die Werte oder annehmen und die Koordinaten der Kollisionspunkte lauten und .

Lösung zu Aufgabe B 2.2

  1. Die Zufallsvariable ist binomialverteilt mit der Trefferwahrscheinlichkeit und dem Stichprobenumfang . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich mithilfe eines GTR berechnen:
    Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable kann als das Produkt des Stichprobenumfangs mit der Trefferwahrscheinlichkeit berechnet werden:
    Der Wert von weicht also um weniger als vom Erwartungswert ab, wenn größer als , aber kleiner als , also höchstens ist. Somit gilt:
    Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von weniger als vom Erwartungswert abweicht, ist etwa .
  2. Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte. Nun ist weiterhin , aber . Die Nullhypothese lautet:
    und die Gegenhypothese
    Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test mit Ablehnungsbereich .
    Gesucht ist nach dem minimalen Wert für , sodass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens Stifte fehlerhaft sind, kleiner als ist. Es muss also gelten:
    Mithilfe eines GTR erhält man:
    Es muss daher gelten und folglich entscheidet man sich ab einer Anzahl von 23 fehlerhaften Stiften gegen die Hypothese.