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Abi Baden-Württemberg 2015 Pflichtteil

Videolösungen

Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Aufgabe 9

Aufgabe

Aufgabe 1

Bilden Sie die Ableitung der Funktion mit .

(2 VP)

Aufgabe 2

Berechnen Sie das Integral .

(2 VP)

Aufgabe 3

Lösen Sie die Gleichung .

(3 VP)

Aufgabe 4

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im Ursprung einen Hochpunkt und an der Stelle die Tangente mit der Gleichung . Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von .

(4 VP)

Aufgabe 5

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion einer ganzrationalen Funktion .

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

(1) Der Graph von hat bei einen Tiefpunkt.
(2)
(3)
(4) Der Grad der Funktion ist mindestens vier.

(5 VP)

Aufgabe 6

Gegeben sind die drei Punkte , und .

  1. Zeigen Sie, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
  2. Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes, der das Dreieck zu einem Parallelogramm ergänzt.
    Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, wie viele solcher Punkte es gibt.

(4 VP)

Aufgabe 7

Gegeben ist die Ebene .

  1. Stellen Sie in einem Koordinatensystem dar.
  2. Bestimmen Sie alle Punkte der -Achse, die von den Abstand 3 haben.

(3 VP)

Aufgabe 8

Ein Glücksrad hat drei farbige Sektoren, die beim einmaligen Drehen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt werden:

Das Glücksrad wird -mal gedreht.
Die Zufallsvariable gibt an, wie oft die Farbe Rot angezeigt wird.

  1. Begründen Sie, dass binomialverteilt ist.

Die Tabelle zeigt einen Ausschnitt der Wahrscheinlichkeitsverteilung von :

  1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens dreimal Rot angezeigt wird.
  2. Entscheiden Sie, welcher der folgenden Werte von der Tabelle zugrunde liegen kann: 20, 25 oder 30.
    Begründen Sie Ihre Entscheidung.

(4 VP)

Aufgabe 9

Mit wird der Rauminhalt eines Körpers berechnet.
Skizzieren Sie diesen Sachverhalt und beschreiben Sie den Körper.

(3 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Die Funktion ist eine Verkettung von Funktionen . Die innere Funktion und die äußere Funktion sind dabei gegeben durch:

Es gelten
Nach der Kettenregel kann nun die Ableitung der Funktion bestimmt werden:

Lösung zu Aufgabe 2

Um den Wert des Integrals

zu berechnen, wird zunächst eine Stammfunktion der Funktion mit
gebildet. Es gilt:
und damit:

Lösung zu Aufgabe 3

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Es gilt

Für den ersten Fall gilt:
Eine erneute Anwendung des Satzes vom Nullprodukt liefert:
Aus dem ersten Fall ergeben sich die folgenden Lösungen:
Für den zweiten Fall gilt:
Daraus ergibt sich die vierte mögliche Lösung
Die Gleichung hat also die Lösungsmenge

Lösung zu Aufgabe 4

Eine allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades lautet

Für die Ableitung dieser Funktion gilt:
Die Informationen aus dem Text müssen nun als Bedingungen an die Funktion und letztlich als Gleichungen aufgestellt werden. Grundsätzlich gilt, dass immer so viele Bedingungen gefunden werden müssen, wie Parameter in der Funktion vorhanden sind. In diesem Fall müssen also mindestens vier Bedingungen aufgestellt werden.
Die Information "Der Graph der Funktion hat im Ursprung einen Hochpunkt." liefert die ersten beiden Bedingungen:

(1) Der Graph der Funktion verläuft durch den Punkt .
(2) Die Ableitung an dieser ist Stelle .

Es gilt also .
Die Information "Der Graph der Funktion hat bei eine Tangente mit der Gleichung ." liefert die restlichen beiden Bedingungen:

(3) Da die Steigung einer Tangente in einem Punkt mit dem Wert der Ableitung an dieser Stelle übereinstimmt, beträgt die Steigung an der Stelle gerade :

Da schon bekannt ist, dass ist, ergibt sich:

(4) Der Punkt, an dem die Tangente anliegt, ist sowohl Punkt der Tangente als auch Punkt des Graphen von .
Diesen Punkt erhält man, indem man in die Tangentengleichung einsetzt:
Damit muss der Punkt auch auf dem Graphen der Funktion liegen und die vierte Bedingung lautet somit:
Und da schon bekannt ist, dass , folgt:
Es ist somit noch folgendes Gleichungssystem zu lösen:
Zum Lösen des Gleichungssystems kann jetzt das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren angewandt werden. Da der Koeffizient vor dem bei beiden Gleichungen gleich ist, bietet es sich hier an, die zweite von der ersten Gleichung abzuziehen. Man erhält:
Einsetzen in liefert dann
Werden nun die ermittelten Parameter eingesetzt, ergibt sich die folgende Gleichung der gesuchten Funktion :

Lösung zu Aufgabe 5

(1) Die Aussage ist wahr: Die Ableitungsfunktion hat bei eine Nullstelle und wechselt dort auch das Vorzeichen von zu , damit hat der Graph der Funktion bei einen Tiefpunkt.

(2) Die Aussage ist wahr:
Es gilt für . Der Graph von ist folglich auf dem Intervall streng monoton wachsend.
Daraus folgt also .

(3) Die Aussage ist falsch:
Der Graph von hat an der Stelle einen Hochpunkt. Daher muss gelten. Weiter geht aus der Abbildung hervor, dass gilt. Damit folgt

(4) Die Aussage ist wahr:
Die Funktion ist ganzrational und damit auch die Funktion . Der Graph von hat im angezeigtem Abschnitt -- und somit insgesamt mindestens -- zwei Extrempunkte. Daher ist der Grad von mindestens drei. Somit ist die Funktion mindestens vierten Grades.

Lösung zu Aufgabe 6

  1. Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn zwei Seiten gleich lang sind.
    Da ist das Dreieck gleichschenklig.
  2. Ein Parallelogramm hat zwei Paare jeweils gegenüberliegender paralleler Seiten. Eine Seite jedes Paares ist hierbei eine Seite des Dreiecks .
    Dann ergibt sich beispielsweise der Punkt , in dem an den Vektor vom Ursprung zum Punkt der Vektor angesetzt wird:
    Derselbe Punkt ergibt sich, wenn vom Ursprung zum Punkt begonnen und dann der Vektor addiert wird. \needspace{4\baselineskip} Es gibt noch zwei weitere Punkte, die das Dreieck zu einem Parallelogramm vervollständigen können:
    und

Lösung zu Aufgabe 7

  1. Da in der Ebenengleichung der Koeffizient vor in diesem Fall ist, verläuft die Ebene parallel zur -Achse. Somit hat die Ebene nur die beiden folgenden Spurpunkte:
    Für ergibt sich der Schnittpunkt der Ebene mit der -Achse:

    Für ergibt sich der Schnittpunkt der Ebene mit der -Achse::

    Mit diesen Informationen lässt sich nun die Ebene zeichnen:
  2. Den Abstand eines Punktes von einer Ebene erhält man mit Hilfe der Hesseschen Normalenform:
    Der Punkt soll auf der -Achse liegen. Es gilt also und somit ist nur die -Koordinate zu bestimmen: .
    Da der Abstand betragen soll, ist folgende Gleichung zu lösen:
    Also:
    Die Koordinaten der gesuchten Punkte sind und .

Lösung zu Aufgabe 8

  1. Das Experiment hat genau zwei Ausgänge:

    (1) Rot (mit der Trefferwahrscheinlichkeit )
    (2) Nicht Rot.

    Da die Wahrscheinlichkeit für Rot bei jeder Durchführung des Experiments gleich bleibt und die Ereignisse unabhängig voneinander sind, ist die Zufallsgröße binomialverteilt.

  2. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens dreimal Rot angezeigt wird, wird über die Gegenwahrscheinlichkeit, höchstens zweimal wird Rot angezeigt, bestimmt. Die Wahrscheinlichkeit für die genaue Trefferanzahl wird der Tabelle entnommen. Die Formel für die Binomialverteilung kann hier nicht angewandt werden, da die Anzahl der Durchführungen nicht bekannt ist.

  3. Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable berechnet sich als Produkt der Anzahl an Durchführungen und der Wahrscheinlichkeit für einen Treffer
    Für die angegebenen Werte gilt:
    In jedem der Fälle ist der Erwartungswert ganzzahlig. Bei ganzzahligem Erwartungswert nimmt eine Binomialverteilung ihr Maximum beim Erwartungswert an. Der Maximalwert der der Tabelle zugrunde liegenden Verteilung von wird bei angenommen, also dem Erwartungswert für . Somit liegt der Tabelle ein Stichprobenumfang von zugrunde.

Lösung zu Aufgabe 9

Ein Ausdruck der Form

gibt den Volumeninhalt des Rotationskörpers an, den man erhält, wenn man der Graph der Funktion im Intervall um die -Achse rotiert. Die Funktion
ist linear mit dem -Achsenabschnitt und der Steigung . Sie lässt sich mit Hilfe eines Steigungsdreiecks oder eines zweiten Punktes, zum Beispiel in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Der Geradenabschnitt rotiert im Intervall um die -Achse und es entsteht ein Kegelstumpf. Im folgenden Schaubild ist dieser Sachverhalt dargestellt.