Abi Baden-Württemberg 2015 Wahlteil A2

Aufgabe A 2.1

Die Entwicklung einer Population in den Jahren 1960 bis 2020 lässt sich durch zwei Funktionen modellhaft beschreiben. Die Funktion mit beschreibt die Geburtenrate und die Funktion mit beschreibt die Sterberate der Population ( in Jahren seit Beginn des Jahres 1960, und in Individuen pro Jahr).

1. Bestimmen Sie die geringste Sterberate.
   In welchem Jahr war die Differenz aus Geburten- und Sterberate am größten?
   Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Population zugenommen hat.
   (4 VP)
2. Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus \num{20000} Individuen.
   Berechnen Sie den Bestand der Population zu Beginn des Jahres 2017.
   In welchem Jahr erreichte die Population erstmals wieder den Bestand von 1960?
   (3 VP)

Betrachtet wird nun das Größenwachstum eines einzelnen Individuums der Population. Dies kann im Beobachtungszeitraum durch das Gesetz des beschränkten Wachstums modelliert werden. Man geht davon aus, dass dieses Individuum in ausgewachsenem Zustand groß ist. Zu Beobachtungsbeginn betragen seine Größe und seine momentane Wachstumsgeschwindigkeit pro Jahr.

3. Bestimmen Sie eine Gleichung einer Funktion, die die Körpergröße des Individuums in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
   Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums um zugenommen?
   (4 VP)

Aufgabe A 2.2

Gegeben sind ein Kreis mit Mittelpunkt und die Funktion mit .

Bestimmen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte des Kreises mit dem Graphen von in Abhängigkeit vom Kreisradius.

Lösung

Lösung zu Aufgabe A 2.1

1. Geringste Sterberate

   Der nichtkonstante Summand von ist gegeben durch

   und als Produkt eines quadratischen Termes mit der Exponentialfunktion nichtnegativ. Damit kann die geringste Sterberate nicht kleiner als sein und dieser Wert wird für auch angenommen. Die geringste Sterberate liegt somit bei Individuen pro Jahr.

   Alternativer Weg
   Im folgenden Schaubild ist der Graph der Funktion dargestellt.

   Gesucht ist der Tiefpunkt des Graphen von . Zunächst wird die Ableitung der Funktion bestimmt:
   Die Nullstellen der Ableitung können mithilfe des Satzes vom Nullprodukt bestimmt werden. Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen und somit sind die Nullstellen von gegeben durch die Lösungen der Gleichung:
   Diese können mihilfe der Mitternachtsformel bestimmt werden und es gilt:
   und damit:
   Aus dem Schaubild kann abgelesen werden, dass der Graph von an der Stelle einen Tiefpunkt und an der Stelle einen Hochpunkt besitzt. Es gilt:
   Die geringste Sterberate liegt somit bei Individuen pro Jahr.

   Größte Differenz aus Geburten- und Sterberate

   Die Differenz aus Geburten- und Sterberate ist gegeben durch die Funktion mit:

   Gesucht ist der Hochpunkt des Graphen der Funktion . Zunächst wird die Ableitung der Funktion bestimmt:
   Die Lösungen der Gleichung
   Mithilfe eines GTR können die Lösungen dieser Gleichung bestimmt werden und es gilt:
   Setzt man diese Nullstellen sowie die Ränder des Definitionsbereiches in die Funktion ein, so ist die maximale Differenz aus Geburten- und Sterberate der größte Wert, den man erhält. Die Entwicklung der Population wird für die Jahre 1960 bis 2020 beschrieben durch die Funktionen und beziehungsweise . Der Definitionsbereich dieser Funktionen ist damit gegeben durch . Es gelten:
   Die Differenz aus Geburtenrate und Sterberate war also zum Zeitpunkt am größten, was dem Jahr 1975 entspricht.

   Zeitraum, in dem die Population zugenommen hat

   Die Population nimmt genau zu, wenn die Differenz aus Geburten- und Sterbrate positiv ist. Hierzu werden zunächst die Nullstellen von bestimmt, also die Lösungen der Gleichung

   Diese werden mithilfe eines GTR bestimmt:
   Der Wert liegt außerhalb des Definitionsbereiches . Außerdem ist bereits bekannt, dass das Maximum bei zwischen und liegt und die Funktion dort positiv ist. Außerdem sind die Werte und negativ, sodass bei und tatsächlich Vorzeichenwechsel stattfinden. Die Funktion ist positiv im Bereich zwischen und , also im Intervall .
   Somit hat die Population im Zeitraum von bis zugenommen.

2. Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus Individuen.
   Damit kann der Bestand der Population Jahre später beschrieben werden durch den Term:

   Der Bestand der Population im Jahr 2017 ist damit gegeben durch:
   Mithilfe eines GTR kann der Wert des Integrals bestimmt werden und es gilt:
   Die Anzahl der Individuen war Anfang 2017 also etwa .

   Erster Zeitpunkt, bei dem die Population wieder auf dem Niveau von 1960 war

   Gesucht ist das kleinste , für das gilt:

   Diese liefert der GTR:
   Die Population war also im November 1968 erstmals wieder gleich groß wie 1960.

3. Funktionsterm

   Gesucht ist eine Funktion , welche die Körpergröße eines Individuums beschreibt. Ein Ansatz für die Funktion ist gegeben durch:

   Hierbei beschreibt die Körpergröße des Individuums in Metern Jahre nach Beobachtungsbeginn. Für die Ableitung gilt:
   Zu Beobachtungsbeginn ist das Individuum groß, es gilt also:
   Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit des Individuums zum Beobachtungsbeginn beträgt pro Jahr, also:
   Im ausgewachsenen Zustand ist das Individuum groß, es gilt daher:
   Es gilt also und damit wegen
   Nun werden die berechneten Werte in die letzte verbleibende Gleichung eingesetzt:
   Eine Funktionsgleichung für die Körpergröße des Individuums in Metern abhängig von der Zeit seit Beobachtungsbeginn in Jahren ist also

   Alternativer Weg
   Die Körpergröße eines Individuums entwickelt sich nach dem Gesetz des beschänkten Wachstums. Ein Ansatz für eine Funktion , welche die Körpergröße beschreibt, ist gegeben durch

   wobei die der Größe des Individuums im ausgewachsenen Zustand und die Größe zu Beobachtungsbeginn beschreibt. Es gilt also:
   Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit zu Beobachtungsbeginn beträgt pro Jahr. Es muss gelten:
   Mit
   
   gilt
   Die Funktion mit
   beschreibt die Größe des Individuums. Hierbei beschreibt die Größe in Metern Jahre nach Beobachtungsbeginn.

   Dauer, bis das Individuum um gewachsen ist

   Zu Beobachtungsbeginn ist das Individuum ${{/latex}} groß. Seine Größe hat um zugenommen, wenn es groß ist. Gesucht ist die Lösung der folgenden Gleichung:

   Das Individuum ist also Jahre nach Beobachtungsbeginn um ${{/latex}} gewachsen.

Lösung zu Aufgabe A 2.2

Skizze

Zunächst wird eine Skizze angefertigt.

Charakterisierung der Schnittpunkte

Der Kreis um mit Radius schneidet den Graphen von genau in den Punkten, deren Abstand zum Ursprung genau beträgt. Die Anzahl der Schnittpunkte ist also die Anzahl der Lösungen der folgenden Gleichung:

Nullstellen von

Da immer positiv ist, sind die Nullstellen von genau die Nullstellen des Zählers. Im Zähler steht ein Produkt. Dieses ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Also:

Analyse der Funktion in den Intervallen zwischen den Nullstellen von

Die Funktionswerte von an diesen Stellen sind:

• : Die Funktionswerte von sind überall größer als , und damit gibt es keine Schnittpunkte des Kreises mit dem Graphen von .
• : Die Funktion nimmt an den Stellen und den Wert an. Der Kreis hat also zwei gemeinsame Punkte mit dem Graphen von .
• : Die Funktion nimmt den Wert jeweils einmal zwischen und und einmal zwischen und an, sowie für genau einen weiteren Wert von der kleiner als und einen der größer als ist.
  Also schneidet der Kreis den Graphen von in genau vier Punkten.
• : Die Funktion nimmt den Wert für an, sowie weiterhin für genau einen weiteren Wert von der kleiner als und einen der größer als ist.
  Also hat der Kreis mit dem Graphen von von genau drei gemeinsame Punkte.
• : Die Funktion nimmt den Wert nur noch für ein an, das größer als ist, sowie eines, das kleiner als ist. Somit hat der Kreis genau zwei Punkte mit dem Graphen von gemeinsam.