Abi Baden-Württemberg 2015 Wahlteil B1

Aufgabe B 1.1

Über einer Terrasse ist als Sonnenschutz eine Markise an einer Hauswand befestigt.

1. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, welche die Lage der Markise beschreibt.
   Berechnen Sie den Winkel zwischen Markise und Hauswand.
   (3 VP)
2. In der Mitte zwischen und steht eine hohe Stablampe. Am Markisenrand wird ein senkrecht nach unten hängender Regenschutz angebracht, der genau bis auf die Terrasse reicht. Bei starkem Wind schwingt er frei um . Kann der Regenschutz dabei die Stablampe berühren?
   Welchen Abstand von der Hauswand darf die Stablampe auf der Terrasse höchstens haben, damit dies nicht passiert?
   (4 VP)
3. Die Sonne scheint und der Regenschutz wird entfernt. Die Richtung der Sonnenstrahlen wird durch den Vektor beschrieben.
   Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Terrasse nicht vollständig beschattet wird.
   Die Markise kann ein- und ausgefahren werden. Dabei bewegen sich die äußeren Eckpunkte der Markise längs der Geraden und . Die Markise wird nun so weit eingefahren, dass der Terrassenrand zwischen und genau zur Hälfte im Schatten liegt.
   Bestimmen Sie die neuen Koordinaten der äußeren Eckpunkte der Markise.
   (4 VP)

Aufgabe B 1.2

Ein Großhändler gibt an, dass sein Weizensaatgut eine Keimfähigkeit von mindestens hat. Mehrere Kunden vermuten, dass die Keimfähigkeit in Wirklichkeit kleiner ist. Deswegen wird die Aussage des Großhändlers mithilfe eines Tests auf einem Signifikanzniveau von überprüft, indem 500 Weizenkörner untersucht werden. Als Nullhypothese wird die Angabe des Großhändlers verwendet.
Formulieren Sie die zugehörige Entscheidungsregel in Worten.
Die tatsächliche Keimfähigkeit des Saatguts beträgt .
Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei obigem Test die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen wird?

Lösung

Lösung zu Aufgabe B 1.1

1. Koordinatengleichung der Ebene

   Für die Bestimmung einer Koordinatengleichung der Ebene , welche die Markise beschreibt, werden drei Punkte dieser Ebene benötigt. Beispielsweise die Punkte , und . Mit Hilfe dieser drei Punkte, kann die Ebene zunächst in Parameterform aufgestellt werden:

   Ein Normalenvektor der Ebene kann beispielsweise als Kreuzprodukt der Spannvektoren bestimmt werden:
   Eine Koordinatengleichung der Ebene ist folglich gegeben durch:
   Eine Punktprobe beispielsweise mit dem Punkt liefert den Wert des Parameters :
   Also kann die Ebene beschrieben werden durch die Gleichung

   Winkel zwischen Markise und Hauswand

   Die Hauswand liegt in der -Ebene, welche folgenden Normalenvektor hat:

   Der Winkel zwischen Markise und Hauswand entspricht dem Winkel zwischen der Ebene und der -Ebene. Es muss also der Schnittwinkel dieser beiden Ebenen bestimmt werden. Dieser Winkel entspricht dem Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Normalenvektor .
   Die Berechnung des Winkels erfolgt mittels der Kosinusformel des Skalarprodukts:
   Der Schnittwinkel zwischen Markise und Hauswand beträgt etwa .

2. Überprüfung, ob es zu einer Berührung kommt

   Zunächst ist hier zu beachten, dass die Einheiten in Meter angegeben sind.
   Da sich die hohe Stablampe in der Mitte zwischen den Punkten und befindet, liegt ihr oberes Ende im Punkt . Die Punkte und haben als -Koordinate beide den Wert . Somit ist der Regenschutz vertikal lang. Im nachfolgenden Schaubild ist eine Skizze der Situation dargestellt.

   Der Regenschutz kann die Stablampe bei starkem Regen also nur dann berühren, wenn der Abstand der Punkte und höchstens beträgt. Für den Abstand gilt:
   Somit kann der Regenschutz die Stablampe nicht berühren.

   Maximaler Abstand der Lampe zur Hauswand

   Mithilfe der Koordinaten von und wird deutlich, dass die Terrasse von der Hauswand entfernt endet. Für den Abstand der Stablampe zur Hauswand gilt , da die Stablampe noch auf der Terrasse stehen soll. Zum Anderen kann davon ausgegangen werden, dass die Stablampe wieder zwischen den Punkten und steht, womit und (Höhe der Lampe) gilt. Die Spitze der Stablampe befindet sich im Punkt .
   Die Funktion beschreibt den Abstand von zu in Abhängigkeit des Parameters :

   Gesucht wird nun nach dem größten im Intervall , für welches der Abstand von zur Spitze der Stablampe beträgt:
   Somit darf die Lampe auf der Terrasse höchstens ca. von der Hauswand entfernt stehen.

3. Begründung, dass die Terrasse nicht vollständig beschattet wird

   Wie schon in Aufgabenteil b) begründet wurde, ist die Terrasse von der Hauswand aus in -Richtung lang. Die Punkte auf der Markisenkante haben als -Koordinate . Nun muss noch die -Koordinate von betrachtet werden. Da diese negativ ist, sind insgesamt die -Koordinaten der Punkte der Schattenlinie von kleiner als . Somit wird die Terrasse nicht vollständig durch die Markise beschattet.

   Neue Koordinaten der äußeren Eckpunkte

   Auch wenn die Markise eingefahren wird, wird ihre Lage trotzdem weiterhin durch die Ebene

   beschrieben. Die neuen äußeren Eckpunkte der Markise sollen durch und beschrieben werden. Für diese Punkte gilt dann, dass sie in der -Koordinate mit denen von bzw. übereinstimmen, da sowohl die Gerade als auch die Gerade parallel zur -Achse verlaufen.
   Für die weitere Berechnung ist nun der Mittelpunkt der Kante nötig.
   Die Gerade , welche durch den Punkt in Richtung verläuft, schneidet nun die Ebene in einem Punkt auf der Geraden . Die Punkte und haben dann die gleichen - und -Koordinaten wie .
   Für die Gerade gilt:
   Der gesuchte Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene lässt sich nun wie folgt berechnen:
   Wird nun in die Gerade eingesetzt, so ergibt sich für den Schnittpunkt :
   Insgesamt sind dann also die neuen Koordinaten der Eckpunkte der Markise und .

Lösung zu Aufgabe B 1.2

1. Entscheidungsregel

   Da die Kunden vermuten, dass die Keimfähigkeit des Saatgutes kleiner ist als , wird ein linksseitiger Test mit der Nullhypothese

   und der Alternative
   auf dem Signifikanzniveau durchgeführt.
   Ist die Anzahl der keimenden Weizenkörner gering, so spricht dies für die Vermutung der Kunden. Somit ist der Ablehnungsbereich von von der Form
   Wenn die Zufallsvariable nun also -verteilt ist, entspricht der größten natürlichen Zahl mit
   Nun wird dieser kritische Wert ermittelt:
   Somit ist und für den Ablehnungsbereich von folgt:
   
   Die Entscheidungsregel lautet also:
   Wenn von den getesteten Weizenkörnern höchstens keimfähig sind, so wird die Nullhypothese, also die Behauptung des Großhändlers, abgelehnt.

   Irrtumswahrscheinlichkeit

   Die Zufallsvariable in diesem Fall -verteilt.
   Die Nullhypothese wird verworfen, wenn die Werte des Ablehnungsbereichs erreicht werden.
   Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist dann also

   Also wird die Nullhypothese in diesem Fall mit einer Wahrscheinlichkeit von zirka fälschlicherweise verworfen.