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Abi Baden-Württemberg 2016 Pflichtteil

Videolösungen

Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6a
Aufgabe 6b
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Aufgabe 9

Aufgabe

Aufgabe 1

Bilden Sie die Ableitung der Funktion mit .

(2 VP)

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion mit .

Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion von mit .

(2 VP)

Aufgabe 3

Lösen Sie die Gleichung .

(3 VP)

Aufgabe 4

Der Graph der Funktion mit besitzt einen Wendepunkt.

Zeigen Sie, dass eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt ist.

(3 VP)

Aufgabe 5

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion einer Funktion .

Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung.

(1)
(2)
(3) besitzt im Bereich eine Nullstelle.
(4)

Aufgabe 6

Gegeben ist die Gerade .

  1. Untersuchen Sie, ob es einen Punkt auf gibt, dessen drei Koordinaten identisch sind.
  2. Die Gerade verläuft durch und schneidet orthogonal. Bestimmen Sie eine Gleichung von .

(5 VP)

Aufgabe 7

Gegeben ist die Ebene .

Es gibt zwei zu parallele Ebenen und , die vom Ursprung den Abstand haben.

Bestimmen Sie jeweils eine Gleichung von und .

(3 VP)

Aufgabe 8

Bei einem Glücksrad werden die Zahlen , , und bei einmaligem Drehen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt:

  1. Das Glücksrad wird einmal gedreht. Geben Sie zwei verschiedene Ereignisse an, deren Wahrscheinlichkeit jeweils beträgt.
  2. An dem Glücksrad sollen nur die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen und so verändert werden, dass das folgende Spiel fair ist:
    Für einen Einsatz von darf man einmal am Glücksrad drehen.
    Die angezeigte Zahl gibt den Auszahlungsbetrag in Euro an.
    Bestimmen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen und .

(4 VP)

Aufgabe 9

Von zwei Kugeln und sind die Mittelpunkte und sowie die Radien und bekannt. Die Kugeln berühren einander von außen im Punkt .

Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man bestimmen kann.

(3 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Die Funktion ist ein Produkt von Funktionen . Die beiden Funktionen und sind dabei gegeben durch

Es gelten:
Nach der Produktregel kann nun die Ableitung der Funktion bestimmt werden:

Lösung zu Aufgabe 2

Für die Stammfunktion einer linear verketteten Funktion der Form

mit reellen Zahlen , und gilt:
falls eine Stammfunktion von ist. In diesem Fall gilt:
Für die Stammfunktion von gilt:
Eine allgemeine Stammfunktion von lautet:
Nun wird die reelle Zahl so bestimmt, dass gilt. Also wird folgende Gleichung nach aufgelöst:
Die gesuchte Stammfunktion ist

Lösung zu Aufgabe 3

Die gesamte Gleichung wird zunächst mit dem Nenner des Bruchterms durchmultipliziert. Dies verändert die Lösungsmenge nicht, da für alle ungleich Null ist. Man erhält die Gleichung

Diese Gleichung wird mit dem Substitutionsverfahren gelöst. Substituiert man , so entsteht eine quadratische Gleichung, die zum Beispiel mit der Mitternachtsformel gelöst werden kann.

Substitution

Die Gleichung lautet nun

Die Mitternachtsformel liefert die Lösungen

Resubstitution

Um die Lösungen der ursprünglichen Gleichung zu bestimmen, muss nun wieder resubstituiert werden. Es gilt , und mit den gerade berechneten Werten für erhält man:

Somit gehört zu der Gleichung die Lösungsmenge .

Lösung zu Aufgabe 4

Eine Gerade ist Tangente an den Graphen der Funktion in einem Punkt , wenn auf der Geraden liegt und die Steigung der Geraden gleich der ersten Ableitung der Funktion im Punkt ist. Es muss also der Wendepunkt des Graphen der Funktion und die Ableitung an dieser Stelle ermittelt werden.

Koordinaten des Wendepunktes

Hierzu werden zunächst die ersten drei Ableitungen der Funktion bestimmt. Diese sind

Ein Kandidat für eine Wendestelle ist die Nullstelle der zweiten Ableitung:
Der Graph der Funktion hat an der Stelle einen Wendepunkt, weil gilt:
Für den zugehörigen Funktionswert gilt:
Der Wendepunkt des Graphen von besitzt die Koordinaten .

Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle

Die Steigung der Tangente im Wendepunkt entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle:

Überprüfung der Werte

Die Gerade hat ebenfalls die Steigung . Sie ist somit die Tangente im Wendepunkt, wenn zusätzlich der Punkt auf der Geraden liegt. Einsetzen der Koordinaten von ergibt:

Die Tangente an den Graphen von im Wendepunkt hat die Gleichung
und stimmt mit dem angegebenen Ergebnis überein.

Lösung zu Aufgabe 5

(1) Die Aussage ist wahr, denn laut Abbildung hat der Graph von an der Stelle eine doppelte Nullstelle beziehungsweise einen Tiefpunkt. Daraus folgt und .

(2) Die Aussage ist falsch, denn aus der Abbildung kann abgelesen werden:

(3) Die Aussage ist wahr, denn der Graph von ist stetig, hat bei einen Hochpunkt und bei einen Tiefpunkt. Daraus folgt, dass in diesem Intervall eine Wendestelle vorhanden sein muss.
Folglich muss der Graph von in diesem Intervall eine Nullstelle haben.

(4) Die Aussage ist falsch, denn laut Abbildung gilt und die Tangente an den Graphen von hat an der Stelle eine negative Steigung. Daraus folgt

Lösung zu Aufgabe 6

  1. Es soll untersucht werden, ob es auf der Geraden einen Punkt mit drei gleichen Koordinaten gibt, also einen Punkt mit . Um zu bestimmen, wird folgende Gleichung gelöst:

    Das zu lösende Gleichungssytem lautet
    Dieses LGS ist überbestimmt, das heißt, die Anzahl der Gleichungen ist größer als die Anzahl der Variablen. Deshalb werden nur die ersten beiden zur Berechnung von und verwendet. Anhand der dritten Gleichung wird das Ergebnis überprüft.
    Nun können die Werte direkt berechnet werden:
    Die Werte werden zur Probe in die dritte Gleichung eingesetzt:
    Die dritte Gleichung ist ebenfalls erfüllt. Somit ist ein Punkt auf , der drei identische Koordinaten hat.
  2. Die gesuchte Gerade verläuft durch sowie den Schnittpunkt mit der Geraden . Der Ortsvektor hat somit die Form

    Da sich und orthogonal schneiden, muss das Skalarprodukt des Richtungsvektors von und des Richtungsvektors von gleich sein. Es ergibt sich die folgende Gleichung:
    Somit ergibt sich für die gesuchte Gerade :

Lösung zu Aufgabe 7

Der Abstand einer Ebene zu einem Punkt kann wie folgt berechnet werden:

Allgemein ist eine Gleichung einer zu parallelen Ebene gegeben durch
Wegen
ist die Hessesche Normalenform der Ebene gegeben durch:
hierbei gibt den gerichteten Abstand der Ebene zum Ursprung an. In den gesuchten Ebenengleichungen ist somit oder , und es gilt:
oder, nach Multiplikation mit und Umstellung in die Koordinatenform,

Lösung zu Aufgabe 8

  1. Im Folgenden wird mit der Zufallsvariable die Zahl beim Drehen des Glücksrades bezeichnet. Zu finden sind Teilmengen von , sodass sich die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse zu summieren. Es gelten:
    Die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse
    und
    betragen also .
  2. Die Wahrscheinlichkeit, auf dem veränderten Glücksrad eine 1 zu erdrehen, wird mit bezeichnet. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine 2 zu erdrehen, gegeben durch
    Damit das Spiel fair ist, muss der Erwartungswert des Gewinns gleich dem Einsatz sein. Es muss also gelten
    und damit
    Für ein faires Spiel betragen die Wahrscheinlichkeiten also

Lösung zu Aufgabe 9

Der gesuchte Punkt liegt auf der Strecke zwischen und . Der Abstand von zu entspricht dem Radius . Somit wird der Vektor auf skaliert und zu addiert.

Die Länge des Vektors beträgt , da auf der Strecke von nach liegt und die Länge von bzw. von entfernt ist.

Die Koordinaten des Punktes ergeben sich aus der Berechnung des Vektors

Alternativer Weg:
Analog ist der Ansatz mit und dem Radius möglich. Die Koordinaten von ergeben sich dann aus:

Durch das Minuszeichen vor zeigt der Vektor in entgegengesetzte Richtung. Beide Formeln entsprechen auch der allgemeinen Gleichung für einen Punkt , der die Strecke von nach im Verhältnis zu teilt: