Videolösungen
Aufgabe
Aufgabe 1
Bilden Sie die Ableitung der Funktion
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion
Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion
Aufgabe 3
Lösen Sie die Gleichung
Aufgabe 4
Der Graph der Funktion
Zeigen Sie, dass
Aufgabe 5
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion
(1)
(2)
(3)
(4)
Aufgabe 6
Gegeben ist die Gerade
- Untersuchen Sie, ob es einen Punkt auf
gibt, dessen drei Koordinaten identisch sind. - Die Gerade
verläuft durch und schneidet orthogonal. Bestimmen Sie eine Gleichung von .
Aufgabe 7
Gegeben ist die Ebene
Es gibt zwei zu
Bestimmen Sie jeweils eine Gleichung von
Aufgabe 8
Bei einem Glücksrad werden die Zahlen
- Das Glücksrad wird einmal gedreht. Geben Sie zwei verschiedene Ereignisse an, deren Wahrscheinlichkeit jeweils
beträgt. - An dem Glücksrad sollen nur die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen
und so verändert werden, dass das folgende Spiel fair ist:
Für einen Einsatz vondarf man einmal am Glücksrad drehen.
Die angezeigte Zahl gibt den Auszahlungsbetrag in Euro an.
Bestimmen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für die Zahlenund .
Aufgabe 9
Von zwei Kugeln
Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man
Lösung
Lösung zu Aufgabe 1
Die Funktion
Lösung zu Aufgabe 2
Für die Stammfunktion einer linear verketteten Funktion der Form
Lösung zu Aufgabe 3
Die gesamte Gleichung wird zunächst mit dem Nenner des Bruchterms
Substitution
Die Gleichung lautet nun
Resubstitution
Um die Lösungen der ursprünglichen Gleichung zu bestimmen, muss nun wieder resubstituiert werden.
Es gilt
Lösung zu Aufgabe 4
Eine Gerade ist Tangente an den Graphen der Funktion in einem Punkt
Koordinaten des Wendepunktes
Hierzu werden zunächst die ersten drei Ableitungen der Funktion
Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle
Die Steigung der Tangente im Wendepunkt entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle:
Überprüfung der Werte
Die Gerade
Lösung zu Aufgabe 5
(1) Die Aussage ist wahr, denn laut Abbildung hat der Graph von
(2) Die Aussage ist falsch, denn aus der Abbildung kann abgelesen werden:
(3) Die Aussage ist wahr, denn der Graph von
Folglich muss der Graph von
(4) Die Aussage ist falsch, denn laut Abbildung gilt
Lösung zu Aufgabe 6
-
Es soll untersucht werden, ob es auf der Geraden
einen Punkt mit drei gleichen Koordinaten gibt, also einen Punkt mit . Um zu bestimmen, wird folgende Gleichung gelöst: Das zu lösende Gleichungssytem lautetDieses LGS ist überbestimmt, das heißt, die Anzahl der Gleichungen ist größer als die Anzahl der Variablen. Deshalb werden nur die ersten beiden zur Berechnung vonund verwendet. Anhand der dritten Gleichung wird das Ergebnis überprüft. Nun können die Werte direkt berechnet werden:Die Werte werden zur Probe in die dritte Gleichung eingesetzt:Die dritte Gleichung ist ebenfalls erfüllt. Somit istein Punkt auf , der drei identische Koordinaten hat. -
Die gesuchte Gerade
verläuft durch sowie den Schnittpunkt mit der Geraden . Der Ortsvektor hat somit die Form Da sichund orthogonal schneiden, muss das Skalarprodukt des Richtungsvektors von und des Richtungsvektors von gleich sein. Es ergibt sich die folgende Gleichung: Somit ergibt sich für die gesuchte Gerade:
Lösung zu Aufgabe 7
Der Abstand
Lösung zu Aufgabe 8
- Im Folgenden wird mit der Zufallsvariable
die Zahl beim Drehen des Glücksrades bezeichnet. Zu finden sind Teilmengen von , sodass sich die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse zu summieren. Es gelten: Die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisseundbetragen also. - Die Wahrscheinlichkeit, auf dem veränderten Glücksrad eine 1 zu erdrehen, wird mit
bezeichnet. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine 2 zu erdrehen, gegeben durch Damit das Spiel fair ist, muss der Erwartungswert des Gewinns gleich dem Einsatz sein. Es muss also geltenund damitFür ein faires Spiel betragen die Wahrscheinlichkeiten also
Lösung zu Aufgabe 9
Die Länge des Vektors
Die Koordinaten des Punktes
Alternativer Weg
Analog ist der Ansatz mit