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Abi Baden-Württemberg 2017 Pflichtteil

Videolösungen

Aufgabe 1 & 2
Aufgabe 3 & 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7

Aufgabe

Aufgabe 1

Bilden Sie die Ableitung der Funktion mit .

(1,5 VP)

Aufgabe 2

Lösen Sie die Gleichung .

(3 VP)

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion mit .

Berechnen Sie den Inhalt der markierten Fläche.
(3 VP)

Aufgabe 4

Sind folgende Aussagen wahr? Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung.

(1) Jede Funktion, deren Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt eine Extremstelle.
(2) Jede ganzrationale Funktion vierten Grades hat eine Extremstelle.

(2,5 VP)

Aufgabe 5

Gegeben sind die Ebenen und .

  1. Stellen Sie die Ebene in einem Koordinatensystem dar.
  2. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von und .
  3. Ermitteln Sie eine Gleichung einer Geraden, die in enthalten ist und mit keinen Punkt gemeinsam hat.

(4,5 VP)

Aufgabe 6

Gegeben sind eine Ebene , ein Punkt in sowie ein weiterer Punkt , der nicht in liegt.
Der Punkt ist die Spitze eines geraden Kegels, dessen Grundkreis in liegt und durch verläuft. Die Strecke bildet einen Durchmesser des Grundkreises. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man die Koordinaten des Punktes bestimmen kann.

(3 VP)

Aufgabe 7

In einer Urne liegen drei rote, zwei grüne und eine blaue Kugel. Es werden so lange nacheinander einzelne Kugeln gezogen und zur Seite gelegt, bis man eine rote Kugel erhält.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man höchstens drei Kugeln zieht.

(2,5 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Die Funktion ist eine Verkettung von Funktionen . Die innere Funktion und die äußere Funktion sind dabei gegeben durch

Es gelten:
Nach der Kettenregel kann nun die Ableitung der Funktion bestimmt werden:

Lösung zu Aufgabe 2

Gesucht sind die Lösungen der Gleichung

Setzt man , dann muss gelten:
Mit der Mitternachtsformel erhält man:
und somit:
Die Rücksubstitution liefert:
Die Lösungsmenge der Gleichung
ist also gegeben durch .

Lösung zu Aufgabe 3

Der Flächeninhalt der markierten Fläche setzt sich, wie in der folgenden Skizze dargestellt, aus zwei Teilflächen zusammen.

Zunächst wird der Schnittpunkt des Graphen von mit der Gerade bestimmt. Es gilt:
Die Lösung ist nicht relevant, weil für die schraffierte Fläche gilt.
Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von mit der Geraden sind . Die Fläche ist die Fläche eines Rechtecks, und der Flächeninhalt ist gegeben durch:
Für den Flächeninhalt der Fläche gilt:
Für den Flächeninhalt gilt
Somit hat die schraffierte Fläche einen Flächeninhalt von .

Lösung zu Aufgabe 4

(1) Die Aussage ist falsch.
Eine Funktion besitzt nur dann eine Extremstelle, wenn die Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. Ein Gegenbeispiel für die Aussage ist folgende Funktion: .

(2) Die Aussage ist richtig.
Für die Ableitung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades gilt: - Die Funktion ist ganzrationale Funktion dritten Grades - Entweder ist und oder und .
Folglich hat die Funktion mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel und die Funktion eine Extremstelle.

Lösung zu Aufgabe 5

  1. Zunächst werden die Spurpunkte der Ebene bestimmt. Hierzu werden jeweils zwei Koordinaten Null gesetzt und der Wert der dritten Koordinate bestimmt. Es gelten:
    Die Ebene hat keinen Schnittpunkt mit der -Achse, sie ist also parallel zur -Achse. Im folgenden Koordinatensystem ist die Ebene skizziert.
  2. Zunächst wird die Ebene in Koordinatenform dargestellt. Der Normalenvektor kann aus der Normalenform abgelesen werden, es gilt:
    und ein Ansatz für eine Koordinatengleichung von ist gegeben durch:
    Die Ebene enthält den Punkt , damit kann der Wert des Parameters bestimmt werden:
    Eine Koordinatengleichung der Ebene ist damit:
    Gesucht ist die Schnittgerade der beiden Ebenen und :
    Setzt man , dann gelten:
    Eine Gleichung der Schnittgeraden ist gegeben durch
  3. Eine Gleichung einer Geraden , die in enthalten ist, aber keinen Punkt mit gemeinsam hat, kann bestimmt werden, indem

    • als Stützvektor der Geraden ein Ortsvektor eines Punktes gewählt wird, der in enthalten ist, aber nicht in ,
    • als Richtungsvektor der Richtungsvektor der Schnittgeraden verwendet wird.

    Der Punkt liegt gemäß Teilaufgabe a) in der Ebene , aber nicht in der Ebene , denn es gilt:

    Die Gerade mit der Gleichung
    erfüllt die geforderte Bedingung.

Lösung zu Aufgabe 6

Zunächst wird eine Skizze mit der Ebene , den Punkten und und dem Kegel angefertigt. Die Strecke bildet einen Durchmesser des Grundkreises.

Der Punkt ist der Lotfußpunkt des Punktes auf der Ebene . In der folgenden Skizze ist ein Schnittbild des Kegels zusammen mit dem Punkt dargestellt.

Die Koordinaten des Punktes werden bestimmt, indem eine Lotgerade aufgestellt wird, welche den Punkt enthält und den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor besitzt, also
Der Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene ist der Lotfußpunkt
Der Punkt ist der Spiegelpunkt von an und es gilt:

Alternativer Weg:
Der Punkt ist der Spiegelpunkt von an und es gilt:

Lösung zu Aufgabe 7

In der Urne liegen drei rote, zwei grüne und eine blaue Kugel. Es werden so lange Kugeln gezogen und zur Seite gelegt, bis man eine rote Kugel erhält. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis :

Es gilt:
Spätestens die vierte gezogene Kugel ist eine rote Kugel.
Damit kann die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens drei Kugeln zieht, berechnet werden als Gegenwahrscheinlichkeit des Ereignisses , dass 4 Kugeln gezogen werden müssen.
Diese Wahrscheinlichkeit kann bestimmt werden als:
Das Ereignis ist das Gegenereignis zum Ereignis , und damit ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis gegeben durch:

Alternativer Weg:
Folgendes Baumdiagramm stellt die Situation beim Ziehen der Kugeln aus der Urne dar:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel in den ersten drei Zügen gezogen wird, kann mithilfe der Pfadregeln des Baumdiagramms bestimmt werden als: