Videolösungen
Aufgabe
Aufgabe 1
Bilden Sie die Ableitung der Funktion
Aufgabe 2
Lösen Sie die Gleichung
Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktion
Aufgabe 4
Sind folgende Aussagen wahr? Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung.
(1) Jede Funktion, deren Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt eine Extremstelle.
(2) Jede ganzrationale Funktion vierten Grades hat eine Extremstelle.
Aufgabe 5
Gegeben sind die Ebenen
- Stellen Sie die Ebene
in einem Koordinatensystem dar. - Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von
und . - Ermitteln Sie eine Gleichung einer Geraden, die in
enthalten ist und mit keinen Punkt gemeinsam hat.
Aufgabe 6
Gegeben sind eine Ebene
Der Punkt
Aufgabe 7
In einer Urne liegen drei rote, zwei grüne und eine blaue Kugel.
Es werden so lange nacheinander einzelne Kugeln gezogen und zur Seite gelegt,
bis man eine rote Kugel erhält.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man höchstens drei Kugeln zieht.
Lösung
Lösung zu Aufgabe 1
Die Funktion
Lösung zu Aufgabe 2
Gesucht sind die Lösungen der Gleichung
Lösung zu Aufgabe 3
Der Flächeninhalt der markierten Fläche setzt sich, wie in der folgenden Skizze dargestellt, aus zwei Teilflächen zusammen.
Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von
Lösung zu Aufgabe 4
(1) Die Aussage ist falsch.
Eine Funktion besitzt nur dann eine Extremstelle, wenn die Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt.
Ein Gegenbeispiel für die Aussage ist folgende Funktion:
(2) Die Aussage ist richtig.
Für die Ableitung
Folglich hat die Funktion
Lösung zu Aufgabe 5
-
Zunächst werden die Spurpunkte der Ebene
bestimmt. Hierzu werden jeweils zwei Koordinaten Null gesetzt und der Wert der dritten Koordinate bestimmt. Es gelten: Die Ebenehat keinen Schnittpunkt mit der -Achse, sie ist also parallel zur -Achse. Im folgenden Koordinatensystem ist die Ebene skizziert. -
Zunächst wird die Ebene
in Koordinatenform dargestellt. Der Normalenvektor kann aus der Normalenform abgelesen werden, es gilt: und ein Ansatz für eine Koordinatengleichung vonist gegeben durch: Die Ebeneenthält den Punkt , damit kann der Wert des Parameters bestimmt werden: Eine Koordinatengleichung der Ebeneist damit: Gesucht ist die Schnittgerade der beiden Ebenenund : Setzt man, dann gelten: Eine Gleichung der Schnittgeradenist gegeben durch -
Eine Gleichung einer Geraden
, die in enthalten ist, aber keinen Punkt mit gemeinsam hat, kann bestimmt werden, indem - als Stützvektor der Geraden
ein Ortsvektor eines Punktes gewählt wird, der in enthalten ist, aber nicht in , - als Richtungsvektor der Richtungsvektor der Schnittgeraden verwendet wird.
Der Punkt
liegt gemäß Teilaufgabe a) in der Ebene , aber nicht in der Ebene , denn es gilt: Die Gerademit der Gleichung erfüllt die geforderte Bedingung. - als Stützvektor der Geraden
Lösung zu Aufgabe 6
Zunächst wird eine Skizze mit der Ebene
Der Punkt
Der Punkt
Alternativer Weg
Der Punkt
Lösung zu Aufgabe 7
In der Urne liegen drei rote, zwei grüne und eine blaue Kugel.
Es werden so lange Kugeln gezogen und zur Seite gelegt, bis man eine rote Kugel erhält.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
Spätestens die vierte gezogene Kugel ist eine rote Kugel.
Damit kann die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens drei Kugeln zieht, berechnet werden als Gegenwahrscheinlichkeit des Ereignisses
Diese Wahrscheinlichkeit
Alternativer Weg
Folgendes Baumdiagramm stellt die Situation beim Ziehen der Kugeln aus der Urne dar: