Abi Baden-Württemberg 2017 Wahlteil B2 (Analytische Geometrie)

Aufgabe

Aufgabe B 2

Zwei Flugzeuge und bewegen sich geradlinig mit jeweils konstanter Geschwindigkeit über dem offenen Meer. In einem Koordinatensystem beschreibt dabei die -Ebene die Meeresoberfläche. Die Beobachtung der Flugzeuge beginnt um Uhr.
Die Flugbahn von wird beschrieben durch die Gleichung

1. Berechnen Sie die Geschwindigkeit von in .
   Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem eine Höhe von erreicht.
   Berechnen Sie die Weite des Winkels, mit dem das Flugzeug steigt.
   (3 VP)
2. Die Flugbahnen von und schneiden sich. Aus Sicherheitsgründen müssen die Zeitpunkte, zu denen die Flugzeuge den Schnittpunkt ihrer Flugbahnen durchfliegen, mindestens eine Minute auseinander liegen.
   Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist.
   (3 VP)
3. Die Position eines Ballons wird durch den Punkt beschrieben. Bestimmen Sie einen Zeitpunkt , zu dem beide Flugzeuge denselben Abstand vom Ballon haben.
   Die Punkte auf der Meeresoberfläche, die zum Zeitpunkt ebenfalls von beiden Flugzeugen gleich weit entfernt sind, liegen auf einer Geraden.
   Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung dieser Geraden bestimmen kann.
   (4 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe B 2 .

1. Geschwindigkeit des Flugzeugs

   Die Geschwindigkeit des Flugzeugs in ist gegeben durch den Betrag des Richtungsvektors der Geraden entlang derer sich das Flugzeug bewegt. Es gilt:

   Das Flugzeug hat also eine Geschwindigkeit von .

   Zeitpunkt, an dem eine Höhe von hat

   Die Höhe des Flugzeugs wird durch die -Komponente bestimmt. Gesucht ist also die Lösung der Gleichung

   Das Flugzeug hat also 5 Minuten nach Beobachtungsbeginn, also um 14.05 Uhr, eine Höhe von .

   Weite des Winkels von

   Zunächst wird eine Gleichung der Geraden bestimmt, entlang derer das Flugzeug fliegt. Die Bahn des Flugzeuges verläuft durch die Punkte und . Ein möglicher Richtungsvektor der Geraden ist gegeben durch:

   Für das Vorankommen um den Vektor benötigt das Flugzeug 3 Minuten. Damit ist eine Gleichung der Flugbahn des Flugzeuges gegeben durch:
   Der Winkel , mit dem das Flugzeug steigt, entspricht dem Winkel zwischen der Geraden und der -Ebene und ist gegeben durch:
   und damit:
   Das Flugzeug steigt also in einem Winkel von ungefähr .

2. Schnittpunkt der beiden Flugbahnen

   Zunächst werden zwei unterschiedliche Parameter und eingeführt und dann die beiden Geradengleichungen gleichgesetzt:

   Dies führt auf folgendes Gleichungssystem:
   mit den Lösungen:
   Der Schnittpunkt der beiden Flugbahnen ist gegeben durch:
   Die Flugbahnen schneiden sich im Punkt .

   Überprüfung der Sicherheitsbedingung

   Das Flugzeug passiert den Schnittpunkt der Flugbahnen 2 Minuten nach Beobachtungsbeginn und das Flugzeug 4 Minuten nach Beobachtungsbeginn. Die beiden Flugzeuge passieren den Schnittpunkt also in einem Abstand von 2 Minuten, und die Sicherheitsbestimmungen werden eingehalten.

3. Die Position des Ballons wird laut Aufgabenstellung durch den Punkt beschrieben.

   Zeitpunkt, an dem die beiden Flugzeuge denselben Abstand vom Ballon haben

   Gesucht ist derjenige Zeitpunkt , zu welchem beide Flugzeuge denselben Abstand von haben.
   Für den Abstand des Flugzeugs zum Ballon zum Zeitpunkt gilt:

   und für den Abstand des Flugzeugs zum Ballon zum Zeitpunkt :
   Es soll , also:
   Mithilfe eines GTR werden die Lösungen dieser Gleichung bestimmt und man erhält:
   Die beiden Flugzeuge haben also ungefähr 2,27 Minuten und 4 Minuten nach Beobachtungsbeginn denselben Abstand zum Ballon.

   Punkte auf der Meeresoberfläche, die zum Zeitpunkt denselben Abstand von den beiden Flugzeugen haben

   Gesucht sind alle Punkte auf der Meeresoberfläche, die zum Zeitpunkt denselben Abstand zu den beiden Flugzeugen haben. Im folgenden Schaubild sind diese Punkte skizziert.

   Zunächst werden diejenigen Punkte und bestimmt, an denen sich die beiden Flugzeuge und zum Zeitpunkt befinden. Die Menge aller Punkte, die von den beiden Punkten und denselben Abstand haben ist eine Ebene .
   Die Ebene ist im folgenden Schaubild skizziert.
   
   Ein Normalenvektor der Ebene ist der Verbindungvektor . Der Punkt ist in der Ebene enthalten, weil der Ballon im Punkt zum Zeitpunkt denselben Abstand von beiden Flugzeugen hat.
   Im letzten Schritt wird die Ebene mit der -Ebene geschnitten. Die resultierende Gerade beschreibt die Menge aller Punkte auf der Meeresoberfläche, welche zum Zeitpunkt denselben Abstand von beiden Flugzeugen haben.