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Abi Baden-Württemberg Probeabitur Wahlteil B1

Aufgabe

Aufgabe 1

Vom Tower eines Flughafens werden zwei Flugzeuge beobachtet. Alle Längenangaben sind in Kilometern, alle Zeitangaben in Stunden angegeben. Das erste Flugzeug fliegt auf der Flugbahn mit

Das bedeutet: Zum Zeitpunkt befindet sich das Flugzeug im Punkt und bewegt sich in einer Stunde um den Richtungsvektor von weiter durch den Raum. Die Flugbahn des zweiten Flugzeugs wird analog beschrieben durch
  1. Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge kreuzen und entscheiden Sie, ob es zu einem Zusammenstoß kommt, wenn die Beobachtung zum Zeitpunkt startet.
    (5 VP)
  2. Berechnen Sie den Abstand, den die beiden Flugzeuge zum Zeitpunkt besitzen.
    (1 VP)
  3. Bestimmen Sie den Zeitpunkt , zu dem sich die Flugzeuge auf gleicher Höhe befinden.
    (2 VP)
  4. Bestimmen Sie durch Rechnung, welches Flugzeug mit der höheren Geschwindigkeit fliegt und wie lange dieses für eine Strecke von benötigt.
    (2 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Schnittpunkt der Geraden
    Um den Schnittpunkt der beiden Geraden zu bestimmen, werden die Terme der beiden Geradengleichungen gleichgesetzt:
    Das zu lösende Gleichungssystem lautet somit:
    Aus der ersten Gleichung folgt direkt . Einsetzen von in und liefert jeweils . Das Gleichungssystem hat also eine eindeutige Lösung für und . Für den Schnittpunkt gilt:
    Somit schneiden sich die Flugbahnen im Punkt . Da aber und die Parameter jeweils die Stunden nach dem Start bei angeben, kommt es nicht zum Zusammenstoß.
  2. Zunächst werden die Ortsvektoren zu den Punkten bzw. bestimmt, an denen sich die Flugzeuge bzw. zum angegebenen Zeitpunkt befinden. Diese Punkte erhält man, indem bzw. in die entsprechende Gleichung eingesetzt wird:

    Der Abstand der beiden Flugzeuge zueinander ist dann die Länge des Verbindungsvektors der Punkte:
    Der gesuchte Abstand ist somit etwa .
  3. Die Höhe, auf der sich die Flugzeuge befinden, wird durch die -Koordinate angegeben. Diese muss also gleichgesetzt werden. Da der Zeitpunkt gesucht ist, an dem beide Flugzeuge die gleiche Höhe haben, wird für beide Parameter gesetzt.
    Die Flugzeuge befinden sich somit eine halbe Stunde nach Beobachtungsbeginn auf gleicher Höhe.
  4. Die Geschwindigkeit des Flugzeuges lässt sich durch den Betrag des Richtungsvektors berechnen:
    Das zweite Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von etwa und damit schneller als das erste Flugzeug mit einer Geschwindigkeit von ungefähr . Das zweite Flugzeug würde für eine Strecke von etwa Stunden benötigen.