Videolösungen
Aufgabe
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion
Aufgabe 2
Gegeben ist die in
- Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion
. (2 BE) - Zeigen Sie, dass die in
definierte Funktion mit eine Stammfunktion von ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion von an, für die gilt. (3 BE)
Aufgabe 3
Gegeben sind die in
- Geben Sie für jede der beiden folgenden Eigenschaften einen möglichen Wert für
und einen möglichen Wert für so an, dass die zugehörige Funktion diese Eigenschaft besitzt. - Die Funktion
hat die Wertemenge . - Die Funktion
hat im Intervall genau drei Nullstellen. (3 BE)
- Die Funktion
- Ermitteln Sie in Abhängigkeit von
, welche Werte die Ableitung von annehmen kann. (2 BE)
Aufgabe 4
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion
- Beschreiben Sie für
den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von . (2 BE) - Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von
im gesamten dargestellten Bereich. (3 BE)
Lösung
Lösung zu Aufgabe 1
Extremstellen
Zunächst wird mithilfe der Quotientenregel die Ableitungsfunktion
Art des Extremumpunktes
Nun wird untersucht, ob der Graph der Funktion
Alternativer Weg
Ob der Graph von
Koordinaten des Extrempunktes
Der Graph der Funktion
Lösung zu Aufgabe 2
-
Für die Berechnung der Nullstellen wird die Gleichung
gelöst: Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Dafür keine Lösung besitzt, folgt: Die Nullstellen vonsind und . -
Nachweis der Stammfunktion
Hierzu wird die Funktion
abgeleitet und anschließend überprüft, ob das Ergebnis mit übereinstimmt: Die Funktionist eine Stammfunktion der Funktion . Angabe einer weiteren Stammfunktion
mit Eine beliebige Stammfunktion von
ist gegeben durch: Für die gesuchte Stammfunktion gilt alsoDie Funktionsgleichung der gesuchten Stammfunktionlautet:
Lösung zu Aufgabe 3
-
Gegeben sind die Funktionen
. Setzt man beispielsweise und erhält man die Funktion . Diese Funktion ist periodisch mit Periodenlänge und Wertebereich . Durch Veränderung des Parameterskann die Periodenlänge modifiziert werden. Der Parameter verschiebt den Graphen in -Richtung. Die Anzahl der Nullstellen in einem Intervall verändert sich einerseites durch Verschiebung des Graphen in -Richtung, andererseits durch Veränderung der Periodenlänge. Folgende Beispiele zeigen Graphen für verschiedene Parameter:
-
Angabe einer Funktion
mit Wertemenge Durch Verschiebung der Sinus-Funktion um
nach oben auf der -Achse erhält man die gewünschte Funktion. Die Periodenlänge ist dabei beliebig. Mit und erhält man: Alternativer Weg
Der Parameterkann frei gewählt werden. Auch die folgende Funktion erfüllt die geforderte Eigenschaft: -
Angabe einer Funktion
mit genau drei Nullstellen im Intervall Genau drei Nullstellen im Bereich
haben zum Beispiel Funktionen mit halber Periodenlänge und Werten zwischen und , also zum Beispiel für und : Alternativer Weg
Verschiebt man die Sinus-Funktion nach oben bzw. unten, so muss die Periodenlänge verkürzt werden, um genau drei Nullstellen zu gewährleisten. Dies ist allerdings nur fürmöglich. Wird beispielsweise gesetzt, dann muss zwischen und liegen, zum Beispiel :
-
-
Zunächst wird die Ableitung
berechnet: Die Funktionmit hat den Wertebereich . Der Faktor vor der Cosinus-Funktion skaliert die Amplitude und verändert damit den Wertebereich, das heißt die Ableitung nimmt alle Werte zwischen und an:
Lösung zu Aufgabe 4
-
Die Nullstelle von
im Bereich zwischen und wird mit bezeichnet. Der Wert der Funktion an der Stelle entspricht der Steigung der Tangente an die Stammfunktion an der Stelle . - Links von der Nullstelle
, also für , verläuft der Graph von oberhalb der -Achse. Somit ist der Graph der Stammfunktion hier monoton steigend. - Rechts von der Nullstelle
, also für , verläuft der Graph von unterhalb der Achse. Es folgt, dass der Graph von in diesem Bereich monoton fallend ist.
Die Funktion
hat also an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach , folglich hat die Stammfunktion hier ein Maximum. - Links von der Nullstelle
-
Im Folgenden werden Eigenschaften des Graphen von
aufgeführt: Sei die Nullstelle und die Extremstelle des Graphen der Funktion . - Steigungsverhalten für
: Der Graph von liegt oberhalb der -Achse und ist monoton fallend. Somit ist der Graph von in diesem Bereich monoton steigend und nach rechts gekrümmt. - Hochpunkt: Wie bereits in Teilaufgabe
ermittelt wurde, liefert die Nullstelle von einen Hochpunkt des Graphen von an der Stelle . - Wendepunkt: Dem Tiefpunkt des Graphen von
an der Stelle entspricht einer Wendestelle im Graphen von . - Asymptotisches Verhalten für
: Der Graph von verläuft hier unterhalb der -Achse und nähert sich einem Wert an.
Nun können diese Erkenntnisse dazu verwendet werden, den Graphen zu zeichnen.
- Steigungsverhalten für