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Abi Bayern 2014 Analysis A1

Videolösungen

Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3a
Aufgabe 3b
Aufgabe 4

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion mit Definitionsmenge . Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von .

(5 BE)

Aufgabe 2

Gegeben ist die in definierte Funktion mit .

  1. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion .
    (2 BE)
  2. Zeigen Sie, dass die in definierte Funktion mit eine Stammfunktion von ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion von an, für die gilt.
    (3 BE)

Aufgabe 3

Gegeben sind die in definierten Funktionen mit .

  1. Geben Sie für jede der beiden folgenden Eigenschaften einen möglichen Wert für und einen möglichen Wert für so an, dass die zugehörige Funktion diese Eigenschaft besitzt.
    1. Die Funktion hat die Wertemenge .
    2. Die Funktion hat im Intervall genau drei Nullstellen.
      (3 BE)
  2. Ermitteln Sie in Abhängigkeit von , welche Werte die Ableitung von annehmen kann.
    (2 BE)

Aufgabe 4

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion .

  1. Beschreiben Sie für den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von .
    (2 BE)
  2. Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von im gesamten dargestellten Bereich.
    (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Extremstellen

Zunächst wird mithilfe der Quotientenregel die Ableitungsfunktion der Funktion bestimmt:

Nun werden die Nullstellen der Ableitung bestimmt:
Die Nullstellen des Zählers sind mögliche Nullstellen der Funktion :
Wegen ist eine Nullstelle von .

Art des Extremumpunktes

Nun wird untersucht, ob der Graph der Funktion an der Stelle einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt besitzt. Hierzu wird zunächst die zweite Ableitung bestimmt:

Für den Funktionswert von an der Stelle gilt dann:
Damit hat der Graph von an der Stelle einen Tiefpunkt.

Alternative:
Ob der Graph von an der Stelle einen Tiefpunkt oder einen Hochpunkt besitzt, kann auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium geprüft werden. Hierfür untersucht man das Verhalten der Ableitung in einer Umgebung der Nullstelle . Es gilt:

Bekanntlich ist der Graph von und damit auch der von monoton steigend, es kann sich also nur um einen Vorzeichenwechsel von zu handeln.

Koordinaten des Extrempunktes

Der Graph der Funktion hat an der Stelle einen Tiefpunkt. Nun muss noch der Funktionswert an der Stelle bestimmt werden. Es gilt:

Tiefpunkt des Graphen von ist .

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Für die Berechnung der Nullstellen wird die Gleichung gelöst:
    Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Da für keine Lösung besitzt, folgt:
    Die Nullstellen von sind und .
  2. Nachweis der Stammfunktion

    Hierzu wird die Funktion abgeleitet und anschließend überprüft, ob das Ergebnis mit übereinstimmt:

    Die Funktion ist eine Stammfunktion der Funktion .

    Angabe einer weiteren Stammfunktion mit

    Eine beliebige Stammfunktion von ist gegeben durch:

    Für die gesuchte Stammfunktion gilt also
    Die Funktionsgleichung der gesuchten Stammfunktion lautet:

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Gegeben sind die Funktionen . Setzt man beispielsweise und erhält man die Funktion . Diese Funktion ist periodisch mit Periodenlänge und Wertebereich .

    Durch Veränderung des Parameters kann die Periodenlänge modifiziert werden. Der Parameter verschiebt den Graphen in -Richtung. Die Anzahl der Nullstellen in einem Intervall verändert sich einerseites durch Verschiebung des Graphen in -Richtung, andererseits durch Veränderung der Periodenlänge.

    Folgende Beispiele zeigen Graphen für verschiedene Parameter:

    1. Angabe einer Funktion mit Wertemenge

      Durch Verschiebung der Sinus-Funktion um nach oben auf der -Achse erhält man die gewünschte Funktion. Die Periodenlänge ist dabei beliebig. Mit und erhält man:


      Alternativer Weg:
      Der Parameter kann frei gewählt werden. Auch die folgende Funktion erfüllt die geforderte Eigenschaft:
    2. Angabe einer Funktion mit genau drei Nullstellen im Intervall

      Genau drei Nullstellen im Bereich haben zum Beispiel Funktionen mit halber Periodenlänge und Werten zwischen und , also zum Beispiel für und :

      Alternativer Weg:
      Verschiebt man die Sinus-Funktion nach oben bzw. unten, so muss die Periodenlänge verkürzt werden, um genau drei Nullstellen zu gewährleisten. Dies ist allerdings nur für möglich. Wird beispielsweise gesetzt, dann muss zwischen und liegen, zum Beispiel :
  2. Zunächst wird die Ableitung berechnet:

    Die Funktion mit hat den Wertebereich . Der Faktor vor der Cosinus-Funktion skaliert die Amplitude und verändert damit den Wertebereich, das heißt die Ableitung nimmt alle Werte zwischen und an:

Lösung zu Aufgabe 4

  1. Die Nullstelle von im Bereich zwischen und wird mit bezeichnet. Der Wert der Funktion an der Stelle entspricht der Steigung der Tangente an die Stammfunktion an der Stelle .

    • Links von der Nullstelle , also für , verläuft der Graph von oberhalb der -Achse. Somit ist der Graph der Stammfunktion hier monoton steigend.
    • Rechts von der Nullstelle , also für , verläuft der Graph von unterhalb der Achse. Es folgt, dass der Graph von in diesem Bereich monoton fallend ist.

    Die Funktion hat also an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach , folglich hat die Stammfunktion hier ein Maximum.

  2. Im Folgenden werden Eigenschaften des Graphen von aufgeführt: Sei die Nullstelle und die Extremstelle des Graphen der Funktion .

    • Steigungsverhalten für : Der Graph von liegt oberhalb der -Achse und ist monoton fallend. Somit ist der Graph von in diesem Bereich monoton steigend und nach rechts gekrümmt.
    • Hochpunkt: Wie bereits in Teilaufgabe ermittelt wurde, liefert die Nullstelle von einen Hochpunkt des Graphen von an der Stelle .
    • Wendepunkt: Dem Tiefpunkt des Graphen von an der Stelle entspricht einer Wendestelle im Graphen von .
    • Asymptotisches Verhalten für : Der Graph von verläuft hier unterhalb der -Achse und nähert sich einem Wert an.

    Nun können diese Erkenntnisse dazu verwendet werden, den Graphen zu zeichnen.