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Abi Bayern 2014 Geometrie B1

Videolösungen

Aufgabe (1/2)
Aufgabe (2/2)

Aufgabe

Aufgabe

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte , und das Dreieck fest, das in der Ebene liegt.

  1. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks .
    (3 BE)

Das Dreieck stellt modellhaft einen Spiegel dar. Der Punkt gibt im Modell die Position einer Lichtquelle an, von der ein Lichtstrahl ausgeht.

Die Richtung dieses Lichtstrahls wird im Modell durch den Vektor beschrieben.

  1. Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, entlang derer der Lichtstrahl im Modell verläuft. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts , in dem die Ebene schneidet, und begründen Sie, dass der Lichtstrahl auf dem dreieckigen Spiegel auftrifft.

    Zur Kontrolle:

    (5 BE)

Der einfallende Lichtstrahl wird in demjenigen Punkt des Spiegels reflektiert, der im Modell durch den Punkt dargestellt wird. Der reflektierte Lichtstrahl geht für einen Beobachter scheinbar von einer Lichtquelle aus, deren Position im Modell durch den Punkt beschrieben wird (vgl. Abbildung).

  1. Zeigen Sie, dass die Punkte und bezüglich der Ebene symmetrisch sind.
    (3 BE)
    Das Lot zur Ebene im Punkt wird als Einfallslot bezeichnet.
  2. Die beiden Geraden, entlang derer der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl im Modell verlaufen, liegen in einer Ebene . Ermitteln Sie eine Gleichung von in Normalenform. Weisen Sie nach, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene liegt.
    Mögliches Teilergebnis:
    (5 BE)
  3. Zeigen Sie, dass die Größe des Winkels zwischen reflektiertem Lichtstrahl und Einfallslot mit der Größe des Winkels zwischen einfallendem Lichtstrahl und Einfallslot übereinstimmt.
    (4 BE)

Lösung

  1. Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich mit dem Kreuzprodukt bestimmen. Man sieht das Dreieck dabei als eine von zwei gleich großen Hälften eines Parallelogramms an.

    Zunächst wird das Kreuzprodukt von zwei Vektoren bestimmt, die ausgehend von einem Eckpunkt, hier , zwei Kanten des Dreiecks bilden:
    Der Flächeninhalt kann dann entsprechend der obigen Skizze bestimmt werden:
    Das Dreieck hat also einen Flächeninhalt von Flächeneinheiten.

    Alternativer Weg:
    Alternativ lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks auch als Produkt der Länge einer der Dreiecksseiten und der dazugehörigen Höhe multipliziert mit dem Faktor berechnen. Allerdings ist die Bestimmung der Höhe etwas aufwändiger. Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet also:

    Wird nun die Strecke als Grundseite gewählt, so entspricht ihre Länge der Länge des Verbindungsvektors , also:
    Die dazugehörige Höhe ist die Strecke, die durch geht und senkrecht schneidet. Gesucht ist also der Abstand von zur Geraden durch und . Dieser lässt sich zum Beispiel mit dem Loftfußpunktverfahren berechnen.

    Erstellen der Geradengleichung von

    Der Vektor wird hierzu als Stützvektor und als Richtungsvektor verwendet:

    Hilfsebene , welche enthält

    Als Normalenvektor der Ebene wird der Richtungsvektor der Geraden verwendet. Ein Ansatz für die Koordinatengleichung lautet also:

    Die Hilfsebene soll den Punkt enthalten. Eine Punktprobe mit liefert dann :
    Eine Koordinatengleichung der Ebene lautet:

    Schnittpunkt von und (Lotfußpunkt)

    Die Zeilen der Geradengleichung werden in die Ebenengleichung eingesetzt und damit der Parameter ermittelt:

    Durch Einsetzen von in kann der Lotfußpunkt bestimmt werden:
    Die gesuchte Höhe ist dann die Länge des Vektors :
    In die Formel für den Flächeninhalt eingesetzt, ergibt das:
    Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von .
  2. Gleichung der Geraden des Lichtstrahls Die Gerade enthält den Punkt und verläuft entlang . Damit ist ein geeigneter Stützvektor und der Richtungsvektor. Eine Geradengleichung der Gerade lautet also:

    Schnittpunkt von und

    Eine Koordinatengleichung der Ebene , in welcher das Dreieck liegt, ist in der Aufgabenstellung gegeben:

    Die Zeilen der Geradengleichung werden nun in die Ebenengleichung eingesetzt und somit der Wert des Parameters ermittelt:
    Der berechnete Parameter wird in die Geradengleichung eingesetzt, um den Schnittpunkt zu erhalten:

    Nachweis, dass innerhalb der Dreiecksfläche liegt

    Der Punkt liegt auf jeden Fall in der Ebene , denn ist der Schnittpunkt von mit . Diese Eigenschaft muss an dieser Stelle nicht durch eine Punktprobe gezeigt werden. Der Punkt liegt innerhalb des Dreiecks , wenn für die Parameter , der Linearkombination

    gilt:
    Falls die ersten beiden Bedingungen erfüllt sind, ergibt sich ein Parallelogramm. Die letzte Bedingung definiert dann das gesuchte Dreieck. Dies ist nachfolgend dargestellt.
    Gesucht sind also die Parameter und , welche die folgende Gleichung erfüllen:
    Daraus ergibt sich folgendes Lineare Gleichungssystem:
    Das Gleichungssystem liefert für und eindeutige Lösungen:
    Es gelten:
    Damit liegt der Punkt im Dreieck .

Alternativer Weg:
Eine Begründung mit Worten würde hier auch funktionieren: Die Eckpunkte des Dreiecks sind die Spurpunkte der Ebene . Alle Spurpunkte haben ausschließlich positive Koordinaten auf der jeweiligen Koordinatenachse. Damit liegen alle Punkte, die nur positive Koordinaten haben, innerhalb der Dreiecksfläche des Spurpunktedreiecks. Der Punkt liegt also innerhalb des Dreiecks.

  1. Der Punkt ist bezüglich der Ebene symmetrisch zu , wenn er der Spiegelpunkt ist. Es muss also einen Punkt der Ebene geben, sodass gilt: , wobei diese Vektoren senkrecht auf der Ebene stehen. Eine einfache zweidimensionale Skizze verdeutlicht den Sachverhalt.

    Lotfußpunkt als Schnittpunkt von Lotgerade und Ebene

    Hierzu wird zunächst eine Gleichung der Hilfsgeraden aufgestellt. Hierzu wird als Stützvektor und der Normalenvektor von als Richtungsvektor gewählt:

    Nun wird der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene bestimmt. Dazu werden die Zeilen von in die Koordinatenform von eingesetzt:
    Einsetzen des berechneten Parameters in die Geradengleichung liefert den Lotfußpunkt :
    Der Lotfußpunkt ist also gegeben durch . Der Vektor ist automatisch senkrecht zur Ebene , weil sowohl der Punkt als auch der Punkt auf der Geraden liegen. Somit ist der Verbindungsvektor der beiden Punkte ein Vielfaches des Richtungsvektors der Geraden . Dieser ist aber parallel zum Normalenvektor der Ebene .

    Nachweis, dass Spiegelpunkt von ist

    Wenn der Spiegelpunkt von bezüglich Ebene ist, dann muss gelten:

    Es gilt:
    Also ist der Spiegelpunkt von , und damit liegen die beiden Punkte symmetrisch zur Ebene .

    Gerade durch und

    Die Gerade verläuft durch die Punkte und , eine mögliche Darstellung von ist also gegeben durch:

    Alternativer Weg:
    Der Nachweis, dass die Punkte und symmetrisch zur Ebene liegen, kann auch folgendermaßen erbracht werden. Zunächst wird der Schnittpunkt der Hilfsgeraden und der Ebene bestimmt und anschließend wird überprüft, ob dieser der Mittelpunkt der Strecke ist.

    Bestimmung des Schnittpunktes und gegenseitige Lage von und

    Zur Bestimmung des Schnittpunktes der Hilfsgeraden und der Ebene werden die Koordinaten der Geradengleichung in die Ebenengleichung eingesetzt.

    Der Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene ist . Der Richtungsvektor der Geraden ist ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene . Somit schneiden sich die beiden Objekte senkrecht.

    Mittelpunkt der Strecke von nach

    Es gilt:

    Damit ist der Mittelpunkt der Strecke .

    Schlussfolgerung

    Der Verbindungsvektor steht senkrecht zur Ebene und der Mittelpunkt der Strecke entpricht genau dem Schnittpunkt der Geraden durch und mit der Ebene . Damit ist der Spiegelpunkt von bezüglich der Ebene und die beiden Punkte liegen symmetrisch zu dieser Ebene.

  2. Koordinatengleichung der Ebene Liegen zwei Geraden, die sich schneiden, in derselben Ebene, so können ihre Richtungsvektoren als Spannvektoren der Ebene genommen werden, und ihr Kreuzprodukt ist ein Normalenvektor der Ebene. Somit:

    Eine Koordinatengleichung der Ebene lautet also:
    Der Punkt liegt auf der Ebene, eine Punktprobe ergibt dann:
    Damit ist eine Koordinatengleichung der Ebene gegeben durch:
    Dies entspricht dem angegebenen Zwischenergebnis.

    Einfallslot

    Das Einfallslot ist die Gerade , die die Ebene im Punkt senkrecht schneidet. Der Punkt ist also ein möglicher Stützpunkt und der Normalenvektor von ein möglicher Richtungsvektor. Also:

    Der Punkt liegt nach Aufgabenstellung sowohl in der Ebene als auch in der Ebene . Damit bleibt zu zeigen, dass der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor von ist. Hierzu wird das Skalarprodukt der beiden Vektoren ermittelt. Es gilt:
    Damit sind die beiden Vektoren senkrecht zueinander und das Einfallslot, also die Gerade , liegt in der Ebene .

    Alternativer Weg:
    Falls zwei Punkte einer Geraden in einer Ebene liegen, verläuft die gesamte Gerade innerhalb der Ebene. Zu zeigen ist also, dass zum Beispiel der Stützpunkt und ein weiterer Punkt in der Ebene liegen. Der Punkt liegt in , denn wenn man ihn in die Ebenengleichung einsetzt, erhält man eine wahre Aussage:

    Für einen zweiten Punkt wählt man in der Geradengleichung des Einfallslotes eine beliebige Zahl als Parameter, zum Beispiel :
    Auch dieser Punkt liegt in der Ebene , denn die Punktprobe liefert eine wahre Aussage:
    Damit liegt das Einfallslot in der Ebene.

    Alternativer Weg:
    Um zu zeigen, dass eine Gerade in einer Ebene liegt, lässt sich alternativ auch zeigen, dass der Stützpunkt, oder ein anderer beliebiger Punkt der Geraden, in der Ebene liegt und der Richtungsvektor durch eine Linearkombination der beiden Spannvektoren der Ebene darstellbar ist. Der Punkt liegt in , denn wenn man ihn in die Ebenengleichung einsetzt, erhält man eine wahre Aussage:

    Betrachte außerdem:
    Diese Gleichung hat die eindeutige Lösung
    Damit ist der Vektor durch eine Linearkombination der Spannvektoren darstellbar und das Einfallslot liegt in der Ebene .
  3. Winkel zwischen Einfallslot (Gerade ) und Gerade
    Der Winkel zwischen den beiden Geraden entspricht dem Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren. Es gilt:

    Für den Winkel gilt dann

    Winkel zwischen Einfallslot und ausfallendem Lichtstrahl

    Genauso wie oben:

    Für den Winkel gilt ebenfalls . Die beiden Winkel sind also gleich groß.