Abi Bayern 2014 Geometrie B2

Aufgabe

Aufgabe

Die Abbildung zeigt modellhaft ein Einfamilienhaus, das auf einer horizontalen Fläche steht. Auf einer der beiden rechteckigen Dachflächen soll eine Dachgaube errichtet werden. Die Punkte , , , , , , und sind die Eckpunkte eines Quaders. Das gerade dreiseitige Prisma stellt die Dachgaube dar, die Strecke den First des Dachs, d.h. die obere waagrechte Dachkante. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht , d.h. das Haus ist lang.

1. Berechnen Sie den Inhalt derjenigen Dachfläche, die im Modell durch das Rechteck dargestellt wird.
   (2 BE)
2. In der Stadt, in der das Einfamilienhaus steht, gilt für die Errichtung von Dachgauben eine Satzung, die jeder Bauherr einhalten muss. Diese Satzung lässt die Errichtung einer Dachgaube zu, wenn die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche des jeweiligen Hausdachs gegen die Horizontale mindestens beträgt. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das betrachtete Einfamilienhaus die Errichtung einer Dachgaube zulässig ist.
   (3 BE)

Die Dachfläche, auf der die Dachgaube errichtet wird, liegt im Modell in der Ebene .

Die Dachgaube soll so errichtet werden, dass sie von dem seitlichen Rand der Dachfläche, der im Modell durch die Strecke dargestellt wird, den Abstand und vom First des Dachs den Abstand 1m hat. Zur Ermittlung der Koordinaten des Punkts wird die durch den Punkt verlaufende Gerade , betrachtet.

3. Begründen Sie, dass in der Ebene verläuft und von der Geraden den Abstand besitzt.
   (5 BE)
4. Auf der Geraden wird nun der Punkt so festgelegt, dass der Abstand der Dachgaube vom First beträgt. Bestimmen Sie die Koordinaten von .
   Zwischenergebnis:
   (3 BE)

Die Punkte und liegen auf der Geraden , die im Modell die Neigung der Dachfläche der Gaube festlegt. Die zur -Achse parallele Strecke stellt im Modell den sogenannten Gaubenstiel dar; dessen Länge soll betragen. Um die Koordinaten von und zu bestimmen, wird die Ebene betrachtet, die durch Verschiebung von um in positive -Richtung entsteht.

5. Begründen Sie, dass eine Gleichung von ist.
   (3 BE)
6. Bestimmen Sie die Koordinaten von und . Teilergebnis:
   (4 BE)

Lösung

1. Die Eckpunkte des Parallelogramms sind gegeben durch

   Für die Kanten des Parallelogramms gilt:
   Die Fläche eines Parallelogramms, und somit auch die eines speziellen Parallelogramms wie dem Rechteck, lässt sich mithilfe des Kreuzproduktes bestimmen. Hierbei werden zwei Seiten gewählt, die sich nicht gegenüber liegen und anschließend der Betrag des Kreuzproduktes bestimmt. Es gelten:

   Alternativer Weg
   Das Parallelogramm ist laut Aufgabenstellung ein Rechteck. Dessen Flächeninhalt kann bestimmt werden, indem das Produkt der Längen zweier nicht gegenüberliegender Seiten berechnet wird:

2. Für die Formel, mit der man den Winkel zwischen zwei Ebenen berechnen kann, benötigt man die Normalenvektoren der Ebene. Den Normalenvektor der Dachschrägenebene erhält man zum Beispiel durch das Kreuzprodukt zweier Spannvektoren, zum Beispiel und , die auch schon im vorigen Aufgabenteil verwendet wurden:

   
   Mit der horizontalen Fläche ist in dieser Aufgabe die Ebene gemeint, diese hat den Normalenvektor . Damit gilt für den Winkel:
   Der Neigungswinkel ist größer als , somit ist die Dachgaube zulässig.

3. Zu zeigen ist, dass die Gerade in der Ebene verläuft. Hierzu wird gezeigt, dass der Stützpunkt und ein beliebiger anderer Punkt der Gerade in der Ebene liegt. Der Stützpunkt liegt in der Ebene , denn:

   Ein weiterer Punkt der Gerade ist zum Beispiel . Um zu erhalten, wurde in der Geradengleichung gewählt. Der Punkt liegt auch in der Ebene , denn:
   Damit liegt die Gerade in der Ebene .

   Alternativer Weg
   Der Stützpunkt liegt in der Ebene , denn die Punktprobe liefert eine wahre Aussage:

   Der Richtungsvektor der Geraden ist senkrecht zum Normalenvektor der Ebene , denn es gilt:
   Damit stehen die beiden Vektoren senkrecht. Da der Stützpunkt der Gerade in der Ebene liegt und der Richtungsvektor der Gerade senkrecht zum Normalenvektor der Ebene steht, liegt die Gerade in der Ebene .

   Nachweis, dass die Gerade zur Geraden durch und den Abstand hat.

   Zunächst wird die Gleichung der Geraden durch und bestimmt. Dazu wird als Stützpunkt und als Richtungsvektor gewählt:

   Offensichtlich ist diese Gerade parallel zur Geraden , denn die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander. In diesem Fall sind sie sogar identisch. Gesucht ist also der Abstand zweier paralleler Geraden. Dieser lässt sich berechnen als Abstand eines beliebigen Punktes der einen Geraden zur anderen Gerade. Hier wird der Abstand des Punktes zur Geraden bestimmt. Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass es sich bei dem Viereck um ein Rechteck handelt. Die Gerade durch und hat die Gleichung:
   Der Punkt liegt auf der Geraden , denn:
   Damit liegt auf einer Kante des Rechtecks, d.h. die Gerade durch , und ist rechtwinklig zur Geraden durch und . Damit ist der Abstand von zur Geraden durch und der Abstand der Punkte und :
   Damit hat die Gerade durch und zur Ebene den Abstand .

   Alternativer Weg
   Die Gerade ist parallel zur Geraden durch und . Der Abstand der beiden Geraden entspricht dann dem Abstand des Punktes zur Geraden .

   Hilfsebene

   Der Richtungsvektor der Geraden ist ein Normalenvektor der Hilfsebene . Ein Ansatz der Koordinatengleichung von lautet dann:

   Die Ebene soll den Punkt enthalten. Durch eine Punktprobe mit kann also der Wert des Parameters bestimmt werden:
   Somit ist eine Koordinatengleichung der Hilfsebene gegeben durch:

   Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene ermitteln

   Für die Bestimmung des Schnittpunktes der Geraden durch und und der Hilfsebene werden die Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung eingesetzt:

   Den Lotfußpunkt erhält man, indem der berechnete Parameter in die Geradengleichung eingesetzt wird:
   Der Lotfußpunkt ist also .

   Abstand von zum Lotfußpunkt

   Der Abstand der Ebene zur Geraden ist dann die Länge des Verbindungsvektors zwischen dem Lotfußpunkt und dem Punkt .

   Damit hat die Gerade durch die Punkte und zur Ebene den Abstand .

4. Falls noch nicht in der vorigen Aufgabe geschehen, muss man hier jetzt nochmal kurz begründen, dass der Stützpunkt der Geraden auf dem Dachfirst liegt, d.h. eine Gerade bestimmen, die durch die Punkte und verläuft:

   Und dann mit der Punktprobe zeigen, dass der Punkt auf der Gerade liegt:
   Der Punkt soll von den Abstand haben, auf der Gerade liegen und innerhalb der Rechtecksfläche des Daches. Der Vektor soll also parallel sein zum Richtungsvektor von und die Länge haben.

   Normierung des Richtungsvektors von

   Ein Vektor wird normiert, also auf Länge gebracht, in dem man ihn mit dem Faktor multipliziert. Der normierte Richtungsvektor wird im Folgenden mit bezeichnet:

   Koordinaten von

   Den Ortsvektor zu erhält man dann, indem man zum Ortsvektor zu den normierten Richtungsvektor addiert oder subtrahiert:

   Der Punkt hat somit die Koordinaten . Entsprechend gilt für :
   Der Punkt hat somit die Koordinaten .
   Nun muss noch untersucht werden, welcher der Punkte und auf der Dachfläche liegt. Beide Punkte und liegen in der Ebene . Alle Punkte der Dachflächenebene haben zusätzlich die Eigenschaften:
   Für den Punkt sind alle drei Bedingungen erfüllt, für den Punkt nicht. Damit liegt ledglich der Punkt innerhalb der Dachfläche. Der gesuchte Punkt ist also

   Alternativer Weg
   Da die Gerade durch und senkrecht zum Dachfirst steht, muss auch die dazu parallele Gerade senkrecht zum Dachfirst sein. Der Punkt liegt auf dem Dachfirst. Die Punkte und liegen auf der Gerade . Also ist der Abstand von zum Dachfirst der Abstand von Punkt zum Punkt :

   Es soll gelten:
   Also:
   Folgende Punkte liegen also auf der Geraden und haben den Abstand von
   Nun muss noch untersucht werden, welcher der Punkte und auf der Dachfläche liegt. Beide Punkte und liegen in der Ebene . Alle Punkte der Dachflächenebene haben zusätzlich die Eigenschaften:
   Für den Punkt sind alle drei Bedingungen erfüllt, für den Punkt nicht. Damit liegt ledglich der Punkt innerhalb der Dachfläche. Der gesuchte Punkt ist also .

5. Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.
   Bei zwei parallelen Ebenen sind die Normalenvektoren gleich oder Vielfache voneinander. Das heißt, ein Ansatz für die Koordinatengleichung der verschobenen Ebene lautet also:

   Um den Parameter zu bestimmen, muss nun noch eine Punktprobe mit einem Punkt der Ebene durchgeführt werden. Diesen erhält man, indem man einen beliebigen Punkt von wählt und dessen -Koordinate um erhöht. Eine mögliche Wahl ist hierbei der Punkt :
   Nun wird in die Koordinatengleichung von eingesetzt, um zu berechnen:
   Somit lautet eine Koordinatengleichung der Ebene:

6. Schnittpunkt von und

   Die Gerade durch und ist parallel zur -Achse. Die Punkte dieser Gerade unterscheiden sich also lediglich in der -Koordinate. Da der Gaubenstiel lang sein soll, wobei eine Längeneinheit entspricht, ist die -Koordinate von genau um größer als die -Koordinate von . Der Punkt liegt damit in der Ebene aus dem vorigen Aufgabenteil und der angegebenen Gerade . Damit ist der Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene genau der Punkt :

   Den berechneten Parameter in eingesetzt, liefert den Schnittpunkt :
   Die Koordinaten des Punktes lauten .

   Koordinaten von

   Aus der Skizze kann abgelesen werden, dass die -Koordinate von genau kleiner ist als die -Koordinate von :

   Die Koordinaten des Punktes lauten somit .