Abi Bayern 2014 Stochastik B1

Aufgabe

Im Rahmen der sogenannten JIM-Studie wurde in Deutschland im Jahr 2012 der Umgang von Jugendlichen im Alter von 12 bis 19 Jahren mit Information und Medien untersucht. In der folgenden Tabelle werden ausgewählte Ergebnisse dieser Studie anhand einer repräsentativen Auswahl von Jugendlichen wiedergegeben, von denen Jungen sind. Dabei werden für vier Geräteklassen jeweils die Anzahl der Mädchen und die Anzahl der Jungen unter den 200 ausgewählten Jugendlichen angegeben, die ein entsprechendes Gerät besitzen.

Aufgabe 1

1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus den Jugendlichen zufällig ausgewählte Person weiblich ist und kein Fernsehgerät besitzt.

   (2 BE)

2. Aus den Jugendlichen wird eine Person zufällig ausgewählt, die ein Fernsehgerät besitzt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person weiblich ist.

   (2 BE)

3. Begründen Sie, dass die Ereignisse "Eine aus den Jugendlichen zufällig ausgewählte Person besitzt ein Fernsehgerät."und "Eine aus den Jugendlichen zufällig ausgewählte Person ist ein Mädchen."abhängig sind.

   (2 BE)

4. Der Studie zufolge besitzen der Mädchen im Alter von 12 bis 19 Jahren ein Fernsehgerät.

   Geben Sie den Wert der Summe in Prozent an. Begründen Sie, dass dieser Wert im Allgemeinen nicht die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass von den Schülerinnen einer Klasse der Jahrgangsstufe 9 weniger als die Hälfte ein Fernsehgerät besitzt.

   (3 BE)

Aufgabe 2

Der JIM-Studie zufolge besitzen deutlich weniger als der Jugendlichen einen Computer. Daher wird an den Stadtrat einer Kleinstadt der Wunsch herangetragen, im örtlichen Jugendzentrum einen Arbeitsraum mit Computern einzurichten. Der Stadtrat möchte die dafür erforderlichen finanziellen Mittel nur dann bewilligen, wenn weniger als der Jugendlichen der Kleinstadt einen Computer besitzen.

1. Die Entscheidung über die Bewilligung der finanziellen Mittel soll mithilfe einer Befragung von zufällig ausgewählten 12- bis 19-jährigen Jugendlichen der Kleinstadt getroffen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich bewilligt werden, soll höchstens betragen. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel, bei der zugleich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich nicht bewilligt werden, möglichst klein ist.
   (4 BE)
2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den befragten Jugendlichen genau einen Computer besitzen, wenn der Anteil derjenigen Jugendlichen, die einen Computer besitzen, unter den Jugendlichen der Kleinstadt ebenso groß ist wie unter den in der Tabelle erfassten Jugendlichen.
   (3 BE)

Aufgabe 3

Es ist zu vermuten, dass unter den Jugendlichen, die ein Smartphone besitzen, der Anteil derjenigen, die eine feste Spielkonsole besitzen, größer ist als unter den Jugendlichen, die kein Smartphone besitzen. Bestimmen Sie für die in der Tabelle erfassten Jugendlichen, wie groß die Anzahl derjenigen Personen, die sowohl ein Smartphone als auch eine feste Spielkonsole besitzen, mindestens sein muss, damit die Vermutung für die in der Tabelle erfassten Jugendlichen zutrifft.

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Die Auswahl der Studie gibt in der Tabelle die Antworten von Jungen und Mädchen wieder.

1. Laut Tabelle besitzen Mädchen () ein Fernsehgerät (). Folglich besitzen Mädchen kein Fernsehgerät. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Mädchen und kein Fernsehgerät"ist gegeben durch:

   Die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person weiblich ist und kein Fernsehgerät besitzt, beträgt .

2. Laut Tabelle besitzen Mädchen und Jungen, also insgesamt Jugendliche, ein Fernsehgerät. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person ein Mädchen ist unter der Bedingung, dass sie ein Fernsehgerät besitzt, ist gegeben durch:

   Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit Fernsehgerät weiblich ist, beträgt ungefähr .

   Alternativer Weg
   Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die ein Fernsehgerät besitzt, weiblich ist, lässt sich auch folgendermaßen berechnen:

   Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit Fernsehgerät weiblich ist, beträgt ungefähr .

3. Die Ereignisse und sind genau dann abhängig, wenn gilt:

   Für diese Wahrscheinlichkeiten gilt:
   Die Ereignisse "Mädchen"und "Fernsehgerät"sind somit stochastisch abhängig.

4. Den Wert der Summe erhält man durch Nachschlagen im stochastischen Tafelwerk:

   Die Schülerinnen der Jahrgangsstufe haben zum einen alle das gleiche Bildungsniveau und sind zum anderen alle nahezu gleich alt (14-15 Jahre). Diese Gruppe bildet keine repräsentative Auswahl aller Mädchen im Alter von bis Jahren.

Lösung zu Aufgabe 2

1. Der Stadtrat möchte die finanziellen Mittel nur dann bewilligen, wenn weniger als der Jugendlichen einen Computer besitzen. Damit lautet die Nullhypothese:

   Es handelt sich also um einen linksseitigen Hypothesentest. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich bewilligt werden, soll höchstens betragen. Daraus folgt:
   Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn bei der Umfrage höchstens Jugendliche angeben, einen Computer zu besitzen, obwohl tatsächlich mindestens der Jugendlichen einen Computer besitzen. Es gilt also:
   Nachschlagen im stochastischen Tafelwerk liefert . Die Wahrscheinlichkeit, die Mittel irrtümlich nicht zu bewilligen, das heißt , soll möglichst klein sein. Man spricht vom Fehler 2.\ Art, wenn tatsächlich weniger als der Jugendlichen einen Computer besitzen, bei der Umfrage allerdings überdurchschnittlich viele Jugendliche angeben einen Computer zu besitzen. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2.\ Art ist umso kleiner, je kleiner der Annahmebereich der Nullhypothese ist. Dies wird erreicht, indem man möglichst groß wählt. Das größtmögliche ist .

   Die finanziellen Mittel werden nicht bewilligt, wenn mehr als , also mindestens , der Jugendlichen angeben, einen Computer zu besitzen. Der Stadtrat stimmt der Einrichtung des Arbeitsraumes zu, wenn höchstens Jugendliche angeben, einen Computer zu besitzen.

2. Laut Tabelle besitzen Mädchen und Jungen, also insgesamt der Jugendlichen, einen Computer . Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher einen Computer besitzt, beträgt also:

   Die gesuchte Wahrscheinlichkeit für , und ist somit
   Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den befragten Jugendlichen genau einen Computer besitzen, beträgt .

Lösung zu Aufgabe 3

Die Anzahl der Jugendlichen, die ein Smartphone besitzen, ist gegeben durch . Also besitzen Jugendliche der Studie kein Smartphone . Außerdem besitzen Jugendliche der Studie eine Spielkonsole . Die in der Aufgabenstellung aufgestellte Vermutung lautet:

Alternativer Weg
Damit die Vermutung korrekt ist, muss der Anteil der Jugendlichen mit Spielkonsole unter den Smartphonebesitzern größer sein als der Anteil der Jugendlichen mit Spielkonsole unter allen Jugendlichen. Damit muss gelten: