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Abi Bayern 2015 Geometrie B2

Videolösungen

Aufgabe (1/3)
Aufgabe (2/3)
Aufgabe (3/3)

Aufgabe

Abbildung 1 zeigt eine Sonnenuhr mit einer gegenüber der Horizontalen geneigten, rechteckigen Grundplatte, auf der sich ein kreisförmiges Zifferblatt befindet. Auf der Grundplatte ist der Polstab befestigt, dessen Schatten bei Sonneneinstrahlung die Uhrzeit auf dem Zifferblatt anzeigt.

Eine Sonnenuhr dieser Bauart wird in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft dargestellt (vgl. Abbildung 2). Dabei beschreibt das Rechteck mit und die Grundplatte der Sonnenuhr. Der Befestigungspunkt des Polstabs auf der Grundplatte wird im Modell durch den Diagonalenschnittpunkt des Rechtecks dargestellt. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht in der Realität. Die Horizontale wird im Modell durch die -Ebene beschrieben.

  1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts . Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene , in der das Rechteck liegt, in Normalenform.

    Mögliches Teilergebnis:

    (5 BE)
  2. Die Grundplatte ist gegenüber der Horizontalen um den Winkel geneigt. Damit man mit der Sonnenuhr die Uhrzeit korrekt bestimmen kann, muss für den Breitengrad des Aufstellungsorts der Sonnenuhr gelten. Bestimmen Sie, für welchen Breitengrad die Sonnenuhr gebaut wurde.
    (4 BE)
  3. Der Polstab wird im Modell durch die Strecke mit dargestellt. Zeigen Sie, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht, und berechnen Sie die Länge des Polstabs auf Zentimeter genau.
    (3 BE)

Sonnenlicht, das an einem Sommertag zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die Sonnenuhr einfällt, wird im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor dargestellt.

  1. Weisen Sie nach, dass der Schatten der im Modell durch den Punkt dargestellten Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigen Grundplatte liegt.
    (6 BE)
  2. Um Uhr verläuft der Schatten des Polstabs im Modell durch den Mittelpunkt der Kante , um 12 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante und um 18 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante . Begründen Sie, dass der betrachtete Zeitpunkt vor 12 Uhr liegt.
    (2 BE)

Lösung

  1. Bestimmung der Koordinaten von
    Für den Ortsvektor des Punktes gilt:

    Mit
    erhält man:
    Der Punkt die Koordinaten .

    Bestimmung der Ebenengleichung

    Eine Parametergleichung der Ebene , in welcher das Viereck liegt, ist gegeben durch:

    Außerdem lässt sich mithilfe des Kreuzproduktes der Richtungsvektoren ein Normalenvektor bestimmen:
    Eine Normalenform der Ebene ist dann gegeben durch:
    Alle Punkte der Ebene erfüllen also die Gleichung:
    Eine Koordinatengleichung der Ebene lautet:
    Dies entspricht dem Kontrollergebnis.
  2. Winkel der Ebene gegenüber der Horizontalen
    Der Neigungswinkel der Grundplatte gegenüber der Horizontalen ist der Schnittwinkel zwischen der Ebene und der Horizontalen. Damit ist der spitze Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene und einem Normalenvektor der Horizontalen .
    Da die Horizontale parallel zur -Ebene ist, ist

    ein Normalenvektor der Ebene . Der Neigungswinkel lässt sich damit wie folgt berechnen:
    Für den Schnittwinkel gilt also
    Die Sonnenuhr ist um ungefähr gegenüber der Horizontalen geneigt.

    Breitengrad

    Für den Breitengrad des Aufstellungsortes muss laut Aufgabenstellung gelten, also

    Die Sonnenuhr wurde für den Breitengrad gebaut.

    Alternativer Weg:
    Wegen lässt sich der Breitengrad auch direkt berechnen:

    Die Sonnenuhr wurde für den Breitengrad gebaut.
  3. Nachweis der Orthogonalität von Polstab und Grundplatte Der Polstab liegt in der Geraden mit der Parameterform

    Für den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene gilt:
    Folglich sind der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene Vielfache voneinander. Der Polstab steht also senkrecht auf der Ebene .

    Länge des Polstabs berechnen

    Zunächst wird die Länge der Strecke mithilfe des Betrags des Vektors berechnet:

    Der Polstab ist also lang. Eine Längeneinheit entspricht und die Länge des Polstabes beträgt .
  4. Berechnung des Schattenpunktes auf der Ebene Die rechteckige Grundplatte liegt in der Ebene . Zunächst wird eine Gerade aufgestellt mit dem Vektor als Stützvektor, wobei die Spitze des Polstabs ist, und dem Richtungsvektor der Sonnenstrahlen. Es gilt also:

    Der Schattenpunkt von auf der Ebene wird berechnet, indem der Schnittpunkt von mit berechnet wird:
    Der Punkt ist der Schattenpunkt der Spitze auf der Ebene .

    Nachweis, dass der Schattenpunkt außerhalb der Grundplatte liegt

    Die Grundplatte besteht aus einem Rechteck, in dem gegenüberliegende Seiten stets parallel sind. Die beiden Seiten und der Grundplatte sind parallel zur -Achse. Deshalb ist die -Koordinate aller Punkte der Grundplatte mindestens so groß wie die von und höchstens so groß wie die von . Für alle Punkte innerhalb der Grundplatte gilt also:

    Für den Schattenpunkt der Spitze auf der Ebene ist dagegen:
    Somit liegt der Schattenpunkt außerhalb der Grundplatte.
  5. Für den Mittelpunkt der Kante , durch den der Schatten des Polstabes um 6 Uhr verläuft, gilt
    und damit . Für den Mittelpunkt der Kante , durch den der Schatten des Polstabes um 12 Uhr verläuft, gilt analog . Für den Mittelpunkt der Kante , durch den der Schatten des Polstabes um 18 Uhr verläuft, gilt analog . Diese drei Uhrzeiten werden zur Veranschaulichung in die symbolische Darstellung der Sonnenuhr eingefügt.
    Aus der Skizze kann abgelesen werden, dass für alle Zeiten zwischen 6 und 12 Uhr die -Komponente des Schattenpunktes positiv ist, während sie für Zeiten zwischen 12 und 18 Uhr negativ ist. Für den Schattenpunkt auf der Ebene gilt:
    Somit liegt der betrachtete Zeitpunkt vor 12 Uhr.