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Abi Bayern 2015 Stochastik B1

Videolösungen

Aufgabe 1
Aufgabe 2

Aufgabe

Aufgabe 1

Der Marketingchef einer Handelskette plant eine Werbeaktion, bei der ein Kunde die Höhe des Rabatts bei seinem Einkauf durch zweimaliges Drehen an einem Glücksrad selbst bestimmen kann. Das Glücksrad hat zwei Sektoren, die mit den Zahlen 5 bzw. 2 beschriftet sind (vgl. Abbildung).

Der Rabatt in Prozent errechnet sich als Produkt der beiden Zahlen, die der Kunde bei zweimaligem Drehen am Glücksrad erzielt.
Die Zufallsgröße beschreibt die Höhe dieses Rabatts in Prozent, kann also die Werte , oder annehmen. Die Zahl wird beim Drehen des Glücksrads mit der Wahrscheinlichkeit erzielt.
Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass jeder Kunde genau einen Einkauf tätigt und auch tatsächlich am Glücksrad dreht.
  1. Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde bei seinem Einkauf einen Rabatt von erhält. (3 BE)
  2. Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert der Zufallsgröße gilt:
    . (3 BE)
  3. Die Geschäftsführung will im Mittel für einen Einkauf einen Rabatt von gewähren. Berechnen Sie für diese Vorgabe den Wert der Wahrscheinlichkeit . (3 BE)
  4. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde bei seinem Einkauf den niedrigsten Rabatt erhält, beträgt . Bestimmen Sie, wie viele Kunden mindestens an dem Glücksrad drehen müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält. (4 BE)

Aufgabe 2

Eine der Filialen der Handelskette befindet sich in einem Einkaufszentrum, das zu Werbezwecken die Erstellung einer Smartphone-App in Auftrag geben will. Diese App soll die Kunden beim Betreten des Einkaufszentrums über aktuelle Angebote und Rabattaktionen der beteiligten Geschäfte informieren. Da dies mit Kosten verbunden ist, will der Finanzchef der Handelskette einer Beteiligung an der App nur zustimmen, wenn mindestens der Kunden der Filiale bereit sind, diese App zu nutzen. Der Marketingchef warnt jedoch davor, auf eine Beteiligung an der App zu verzichten, da dies zu einem Imageverlust führen könnte.
Um zu einer Entscheidung zu gelangen, will die Geschäftsführung der Handelskette eine der beiden folgenden Nullhypothesen auf der Basis einer Befragung von Kunden auf einem Signifikanzniveau von testen:

"Weniger als der Kunden sind bereit, die App zu nutzen."
"Mindestens der Kunden sind bereit, die App zu nutzen."

  1. Nach Abwägung der möglichen Folgen, die der Finanzchef und der Marketingchef aufgezeigt haben, wählt die Geschäftsführung für den Test die Nullhypothese II. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. (4 BE)
  2. Entscheiden Sie, ob bei der Abwägung, die zur Wahl der Nullhypothese II führte, die Befürchtung eines Imageverlusts oder die Kostenfrage als schwerwiegender erachtet wurde. Erläutern Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Folgendes Baumdiagramm beschreibt das zweimalige Drehen des Glücksrades.

    Ein Rabatt von wird also genau dann gewährt, wenn das Glücksrad einmal auf dem Feld mit der und einmal auf dem Feld mit der stehen bleibt. Diese Wahrscheinlichkeit kann aus dem Baumdiagramm abgelesen und wie folgt berechnet werden:

  2. Folgende Wahrscheinlichkeiten können aus dem Baumdiagramm für die Höhe des Rabatts ausgelesen werden:

    Der Erwartungswert für die Höhe des Rabattes in Prozent berechnet sich dann mittels:
  3. Der in Aufgabenteil b) berechnete Erwartungswert entspricht dem im Mittel zu erwartenden Rabatt. Es soll also gelten:
    Die Lösung scheidet aus, weil positiv sein muss. Es gilt also .
  4. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde einen Rabatt von mehr als erhält, beträgt . Gesucht ist also die minimale Anzahl der Kunden, die an dem Gewinnspiel teilnehmen müssen, so dass folgende Bedingung erfüllt ist:

    Nun werden beide Seiten der Gleichung logarithmiert:
    Es müssen also mindestens Kunden am Glücksrad drehen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens ein Kunde den geringsten Rabatt erhält.

    Alternative: Gesucht sind die Lösungen der Gleichung

    Nun werden beide Seiten der Gleichung logarithmiert zur Basis . Hierbei dreht sich die Richtung der Ungleichung direkt um.
    Es müssen also mindestens Kunden am Glücksrad drehen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens ein Kunde den geringsten Rabatt erhält.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Gesucht ist das größte \mbox{}, welches für das Signifikanzniveau \mbox{} folgende Gleichung erfüllt:
    Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass bei befragten Personen höchstens bereit sind, die App zu nutzen, wenn in der Gesamtheit die Wahrscheinlichkeit dafür bei liegt. Eine Tabelle hilft bei der Suche nach dem geeigneten .
    Falls also oder weniger befragte Kunden angeben, dass sie die App nicht nutzen würden, lehnt die Geschäftsleitung eine Beteiligung an der App ab. Falls mindestens befragte Kunden die App nutzen würden, beteiligt sich die Geschäftsführung an der App.
  2. Das Signifikanzniveau ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art. Dieser beschreibt die Ablehnung der Nullhypothese, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist. Für die Nullhypothese bedeutete dies die irrtümliche Investition in die App, obwohl sich in Wirklichkeit nicht genügend Nutzer fänden. Es entstünde ein finanzieller Schaden. Umgekehrt würde es für die Nullhypothese die irrtümliche Unterlassung einer Beteiligung bedeuten, obwohl es genug Nutzer gäbe. Es entstünde ein Imageschaden.

    Mit der Wahl der Nullhypothese minimiert die Geschäftsleitung also das Risiko eines Imageverlustes. Man kann daher davon ausgehen, dass sie diesen als schwerwiegender erachtet.