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Abi Bayern 2015 Stochastik B2

Videolösungen

Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3

Aufgabe

Aufgabe 1

Die beiden Diagramme zeigen für die Bevölkerungsgruppe der über -Jährigen in Deutschland Daten zur Altersstruktur und zum Besitz von Mobiltelefonen.

Aus den über -Jährigen in Deutschland wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

: "Die Person besitzt ein Mobiltelefon."
: "Die Person ist 65 Jahre oder älter."
: "Mindestens eines der Ereignisse und tritt ein.

  1. Geben Sie an, welche zwei der folgenden Mengen bis jeweils das Ereignis beschreiben.

    (2 BE)
  2. Entscheiden Sie anhand geeigneter Terme und auf der Grundlage der vorliegenden Daten, welche der beiden folgenden Wahrscheinlichkeiten größer ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

    ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt, wenn bekannt ist, dass sie Jahre oder älter ist.
    ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person Jahre oder älter ist, wenn bekannt ist, dass sie ein Mobiltelefon besitzt.

    (3 BE)
  3. Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachverhalt für den Fall, dass das Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von eintritt, eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel. Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit .

    (5 BE)

Aufgabe 2

Zwei Drittel der Senioren in Deutschland besitzen ein Mobiltelefon. Bei einer Talkshow zum Thema "Chancen und Risiken der digitalen Welt" sitzen Senioren im Publikum.

  1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland mindestens und höchstens ein Mobiltelefon besitzen.
    (3 BE)
  2. Von den Senioren im Publikum besitzen ein Mobiltelefon. Im Verlauf der Sendung werden drei der Senioren aus dem Publikum zufällig ausgewählt und nach ihrer Meinung befragt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei dieser drei Senioren ein Mobiltelefon besitzen.
    (3 BE)

Aufgabe 3

Eine Handelskette hat noch zahlreiche Smartphones des Modells Y3 auf Lager, als der Hersteller das Nachfolgemodell Y4 auf den Markt bringt. Der Einkaufspreis für das neue Y4 beträgt 300 €, während die Handelskette für das Vorgängermodell Y3 im Einkauf nur 250 € bezahlen musste. Um die Lagerbestände noch zu verkaufen, bietet die Handelskette ab dem Verkaufsstart des Y4 die Smartphones des Typs Y3 für je 199 € an. Aufgrund früherer Erfahrungen geht die Handelskette davon aus, dass von den verkauften Smartphones der Modelle Y3 und Y4 trotz des Preisnachlasses nur vom Typ Y3 sein werden. Berechnen Sie unter dieser Voraussetzung, zu welchem Preis die Handelskette das Y4 anbieten muss, damit sie voraussichtlich pro verkauftem Smartphone der Modelle Y3 und Y4 im Mittel 97 € mehr erhält, als sie beim Einkauf dafür zahlen musste.

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Das Ereignis wird durch die folgenden beiden Mengen beschrieben.

    Die Menge besteht genau aus denjenigen Elementen, die in oder in enthalten sind.
    Die Menge kann umgeschrieben werden zu

    Alternative: Ein Ereignis gehört zur Menge , wenn die Person ein Mobiltelefon besitzt oder Jahre oder älter ist. Die folgenden Mengen beschreiben daher das Ereignis korrekt.

    Ein Ereignis gehört zur Menge , wenn die Person ein Mobiltelefon besitzt oder Jahre oder älter ist.
    Ein Ereignis gehört zur Menge , falls die Person ein Mobilitelefon besitzt und Jahre oder älter ist oder ein Mobiltelefon besitzt und jünger als ist oder kein Mobiltelefon besitzt und Jahre oder älter ist. Also falls die Person ein Mobiltelefon besitzt oder falls die Person kein Mobiltelefon besitzt und Jahre oder älter ist. Ingesamt also: Falls die Person ein Mobiltelefon besitzt oder Jahre oder älter ist.

  2. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein Mobiltelefon besitzt und Jahre oder älter ist, ist gegeben durch den Term . Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein Mobiltelefon besitzt, falls bekannt ist, dass sie Jahre oder älter ist, gegeben durch die bedingte Wahrscheinlichkeit
    Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Jahre oder älter ist und ein Mobiltelefon besitzt, falls bekannt ist, dass sie ein Mobiltelefon besitzt, ist gegeben durch folgenden Term:
    Nun gilt aber und somit:
    Die beiden Wahrscheinlichkeiten und können nicht bestimmt werden, weil die Wahrscheinlichkeit nicht angegeben ist. Es gilt jedoch:
    und folglich:
    Somit ist die Wahrscheinlichkeit größer als die Wahrscheinlichkeit .
  3. Vierfeldertafel erstellen

    Die Wahrscheinlichkeiten und können aus den Diagrammen abgelesen werden. Außerdem gilt nach Aufgabenstellung , also

    Mithilfe dieser Daten kann nun die Vierfeldertafel vollständig ausgefüllt werden.

    Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen

    Die Wahrscheinlichkeit entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein Mobiltelefon besitzt, wenn bekannt ist, dass sie Jahre oder älter ist. Dies entspricht genau der Wahrscheinlichkeit aus Aufgabenteil b). Die Wahrscheinlichkeit kann nun aus der Vierfeldertafel abgelesen werden:

    Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein Mobiltelefon besitzt, wenn bekannt ist, dass sie Jahre oder älter ist, liegt bei ungefähr .

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Die Kriterien für ein Bernoulli-Experiment sind näherungsweise erfüllt, denn jeder Senior hat entweder ein Mobiltelefon oder nicht. Außerdem ist für jeden Senior in Deutschland die Wahrscheinlichkeit, dass er ein Mobiltelefon besitzt gleich groß. Die Gesamtmenge an Senioren in Deutschland ist so groß, dass bei dieser Stichprobenmenge vernächlässigt werden kann, dass ein Senior mehrfach befragt wird. Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der Senioren, die ein Mobiltelefon besitzen. Damit kann die Wahrscheinlichkeit , dass unter befragten Senioren mindestens und höchstens ein Mobiltelefon besitzen, wie folgt mithilfe des Tafelwerks berechnet werden:
    Die gesuchte Wahrscheinlichkeit liegt also bei ca. .
  2. Im Publikum sitzen Senioren, von denen ein Mobiltelefon besitzen. Drei der Senioren werden zufällig ausgewählt. Diese Auswahl entspricht dem "Ziehen ohne Zurücklegen". Die Wahrscheinlichkeit , dass genau zwei dieser drei Senioren ein Mobiltelefon besitzen kann dann folgendermaßen bestimmt werden:

    Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei ungefähr .

    Alternative: Die Wahrscheinlichkeit, dass

    • der erste Senior ein Mobiltelefon besitzt, beträgt
    • der zweite Senior ein Mobiltelefon besitzt, beträgt
    • der dritte Senior kein Mobiltelefon besitzt, beträgt

    Für die Auswahl der Reihenfolge dieser zwei von drei Senioren gibt es drei Möglichkeiten. Nach dem Zählprinzip ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit

    Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei ungefähr .

Lösung zu Aufgabe 3

Sei der gesuchte Preis eines Y4 in Euro und der erzielte Gewinn bei einem zufälligen Smartphone-Verkauf, ebenfalls in Euro. Da nur das Y3 und das Y4 verkauft werden, nimmt laut Aufgabenstellung nur die Werte (für das Y3) und (für das Y4) an. Ersteren mit der Wahrscheinlichkeit und letzteren demnach mit der Wahrscheinlichkeit . Der erwartete Gewinn pro Verkauf soll Euro betragen, es ergibt sich also die Gleichung:

Löst man diese Gleichung nach auf erhält man . Das Modell Y4 sollte also für Euro verkauft werden.

Alternative: Angenommen, die Handelskette verkauft 100 Smartphones. Dann sind unter diesen Smartphones erwartungsgemäß 26 vom Typ Y3 und 74 vom Typ Y4. Der Einkaufswert dieser Smartphones kann berechnet werden als:

Angenommen, die Smartphones vom Typ Y4 werden für Euro verkauft, dann kann der Verkaufserlös wie folgt berechnet werden:
Im Mittel soll die Handelskette Euro pro Smartphone mehr erhalten als sie beim Einkauf bezahlt hat. Dies entspricht bei verkauften Smartphones einem Betrag von Euro. Folgende Gleichung muss also erfüllt sein:
Die Smartphones vom Typ Y4 müssen also für Euro verkauft werden.