Abi Bayern 2016 Analysis A2

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion mit maximalem Definitionsbereich .

1. Geben Sie sowie die Nullstelle von an und bestimmen Sie .
   (3 BE)
2. Ermitteln Sie die -Koordinate des Punkts, in dem der Graph von eine waagrechte Tangente hat.
   (4 BE)

Aufgabe 2

Geben Sie jeweils den Term und den Definitionsbereich einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

1. Der Punkt ist ein Wendepunkt des Graphen von .
   (2 BE)
2. Der Graph der Funktion ist streng monoton fallend und rechtsgekrümmt.
   (2 BE)

Aufgabe 3

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in definierten Funktion .

1. Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 1 einen Näherungswert für .
   (2 BE)

Die Funktion ist die in definierte Stammfunktion von mit .

2. Geben Sie mithilfe von Abbildung 1 einen Näherungswert für die Ableitung von an der Stelle an.
   (1 BE)
3. Zeigen Sie, dass mit gilt.
   (2 BE)

Aufgabe 4

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in definierten Funktion . Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion . Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für die Steigung des Graphen an dessen Wendepunkt sowie die Nullstelle von .

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Definitionsbereich

   Es muss gelten, da eine Nullstelle des Nenners ist. Zudem dürfen im Argument der Logarithmusfunktion nur positive Werte stehen, also . Damit ist .

   Nullstelle

   Ein Bruch ist Null, wenn sein Zähler Null ist. Somit sind die Nullstellen des Zählers die, im Definitionsbereich von liegenden, Nullstellen der Funktion:

   Die Funktion hat also die Nullstelle .

   Grenzwert

   Für den Grenzwert gilt:

   Es gelten wegen :
   und damit:

2. Hierfür muss die Ableitung der Funktion an dieser Stelle Null sein. Zunächst wird mittels der Quotientenregel die Ableitung bestimmt und anschließend die Nullstelle von berechnet:

   Die Nullstelle von lässt sich berechnen, indem die Nullstelle des Zählers berechnet wird:
   Die -Koordinate des Punktes, an dem der Graph von eine waagrechte Tangente hat, ist .

Lösung zu Aufgabe 2

1. Die gesuchte Funktion muss an der Stelle sowohl eine Nullstelle als auch eine Wendestelle haben. Falls die Funktion ganzrational ist, muss die Funktion mindestens vom Grad sein. Eine einfache ganzrationale Funktion dritten Grades ist die Potenzfunktion

   Der Graph von besitzt in einen Sattelpunkt und somit einen Wendepunkt.

   Um die Nullstelle zu berücksichtigen, wird der Graph von um zwei Einheiten in positive -Richtung verschoben. Der zugehörige Term der Funktion des verschobenen Graphens ist

   Wenn eine ganzrationale Funktion dritten Grades drei verschiedene Nullstellen besitzt, eine davon , müssen die beiden anderen Nullstellen symmetrisch zu liegen, um die Wendestelle zu gewährleisten. Also hat beispielsweise folgende Gestalt:

   Alternativer Weg
   Eine weitere Darstellung von lautet:

   Das erste Beispiel
   ist der Spezialfall für und .

   Alternativer Weg
   Es ist auch möglich, eine periodische Funktion zu wählen. Weitere mögliche Wahlen sind also zum Beispiel:

2. Sowohl die erste als auch die zweite Ableitung der gesuchten Funktion muss auf dem ganzen Definitionsbereich negativ sein. Ein möglicher Funktionsterm für die Funktion ist also gegeben durch:

   Alternativer Weg
   Es gibt noch viele weitere Funktionen, welche die Bedingungen erfüllen, zum Beispiel:

Lösung zu Aufgabe 3

Diese Aufgabe entspricht Aufgabe 5 aus Aufgabengruppe 1, daher werden hier nur die Ergebnisse angegeben. Die ausführlichen Lösungen sind an dieser Stelle zu finden.

1. Der Wert des Integrals beträgt ungefähr .
2. Der Wert der Ableitung von an der Stelle ist näherungsweise .
3. Für das Integral gilt:
   Damit ist die Gleichung bewiesen.

Lösung zu Aufgabe 4

Verhalten für

Der Graph von ist monoton fallend. Somit liegt der Graph von in diesem Bereich unterhalb der -Achse. Der Graph von nähert sich für der Asymptote mit der Gleichung . Somit nähert sich der Graph von für der Asymptote mit der Gleichung .

Steigung des Graphen am Wendepunkt

Der Wert der Steigung an der Stelle lässt sich in der Abbildung näherungsweise bestimmen und beträgt . Somit ist .

Krümmungsverhalten am Wendepunkt

An der Wendestelle wechselt der Graph von von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung. Dies entspricht einem Tiefpunkt des Graphen von .

Tiefpunkt

Die Minimumstelle der Funktion entspricht einer Nullstelle von .

Verhalten für

Der Graph von ist monoton steigend. Somit liegt der Graph von in diesem Bereich oberhalb der -Achse. Nun können diese Erkenntnisse dazu verwendet werden, den Graphen zu skizzieren.