Abi Bayern 2016 Analysis B1

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die in definierte Funktion . Der Graph von wird mit bezeichnet.

1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der -Achse und begründen Sie, dass oberhalb der -Achse verläuft.

   (2 BE)

2. Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von sowie das Verhalten von für und für .

   (3 BE)

3. Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung von die Beziehung für gilt. Weisen Sie nach, dass linksgekrümmt ist.

   (4 BE)

4. Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von .

   (3 BE)

5. Berechnen Sie die Steigung der Tangente an im Punkt auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt und die Gerade in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: ).

   (3 BE)

6. Berechnen Sie , im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse im Bereich in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein.

   (4 BE)

7. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Beziehung gilt.

   (3 BE)

Die als Kurvenlänge bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von zwischen den Punkten und mit lässt sich mithilfe der Formel berechnen.

8. Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge des Graphen von zwischen den Punkten und mit .

(4 BE)

Aufgabe 2

Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte und der Masten durch die Punkte bzw. dargestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

1. Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau.
   (2 BE)
2. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau.
   (5 BE)
   Der Graph von soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in definierte quadratische Funktion betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt hat und durch den Punkt verläuft.
3. Ermitteln Sie den Term der Funktion , ohne dabei zu runden.
   (4 BE)
4. Für jedes wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte und der Graphen von bzw. betrachtet, wobei in diesem Bereich gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen im Bereich annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann.
   (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Schnittpunkt mit der -Achse

   Der Schnittpunkt mit der -Achse wird bestimmt, indem man berechnet:

   Der Schnittpunkt mit der -Achse ist .

   Verlauf des Graphen

   Für alle gilt und . Damit gilt für alle :

   Der Graph verläuft also oberhalb der -Achse.

2. Symmetrieverhalten

   Zur Untersuchung des Symmetrieverhaltens von wird zunächst bestimmt und anschließend überprüft, ob oder gilt:

   Für alle gilt also . Damit ist symmetrisch zur -Achse.

   Verhalten für

   Analog gelten:

   Alternativer Weg
   Aufgrund der Achsensymmetrie von gilt:

3. Nachweis von

   Zunächst wird die erste Ableitung der Funktion unter Anwendung der Kettenregel bestimmt:

   Ebenso wird die zweite Ableitung der Funktion bestimmt:
   Es gilt also für alle :

   Linkskrümmung des Graphen

   In Aufgabenteil a) wurde gezeigt, dass folgende Aussage für alle gilt:

   Wegen
   gilt auch für alle und der Graph ist linksgekrümmt.

4. Zunächst werden die Nullstellen der ersten Ableitung von bestimmt. Es gilt:

   Gesucht sind also die Lösungen der Gleichung
   Für die Bestimmung der Art des Extremums wird nun der Wert der zweiten Ableitung an der Stelle bestimmt.
   Der Graph besitzt also an der Stelle einen Tiefpunkt. Der Tiefpunkt entspricht dem Schnittpunkt des Graphen mit der -Achse. Dieser wurde bereits in Aufgabenteil a) bestimmt und es gilt .

5. Gleichung der Tangente

   Es gilt:

   Die Steigung der Tangente im Punkt ist gegeben durch den Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle:
   Die Gerade hat also die Gleichung . Der -Achsenabschnitt der Geraden wird mittels einer Punktprobe mit bestimmt:
   Die Tangente an im Punkt hat also die Gleichung
   Auf eine Dezimale genau gerundet, gelten dann

   Zeichnung

   Die Gerade und der Punkt werden in der folgenden Abbildung dargestellt.

6. Es gilt:

   Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur -Achse, hat einen Tiefpunkt bei , ist linksgekrümmt auf ganz und verläuft näherungsweise durch den Punkt . Die Tangente an im Punkt wurde bereits in das Schaubild eingezeichnet.
   Mithilfe dieser Informationen kann nun gezeichnet werden.

7. Es gilt für alle :

   Dies ist genau die Aussage, die gezeigt werden sollte.

8. In Teilaufgabe g) wurde gezeigt, dass folgende Beziehung gilt:

   In Teilaufgabe a) wurde gezeigt, dass für alle gilt. Damit kann auf beiden Seite die Wurzel gezogen werden:
   Für die Kurvenlänge bedeutet dies:
   Für die gesuchte Kurvenlänge gilt dann:

Lösung zu Aufgabe 2

1. Der Aufhängepunkt des Seils bei Mast 2 wird im Folgenden mit bezeichnet. Der Durchhang des Seils entspricht der Differenz der -Werte der beiden Punkte und des Tiefpunktes . Eine Längeneinheit entspricht einem Meter. Der Durchhang des Seils ist auf Zentimeter genau zu bestimmen. Es genügt also eine Genauigkeit von zwei Dezimalen bei der Bestimmung der -Werte. \needspace{3\baselineskip} Die Koordinaten des Punktes wurden bereits in Aufgabe 1 d) und die Koordinaten des Punktes bereits in Aufgabe 1 f) auf zwei Dezimalen genau bestimmt:

   Der Durchhang des Seils ist also gegeben durch:
   Der Durchhang des Seils beträgt in etwa .

2. Größe des Winkels

   Hierzu wird zunächst der Winkel zwischen dem Graphen und der Horizontalen bestimmt:

   Mit
   gilt also:
   Der Winkel , den das Seil mit dem Masten im Punkt einschließt, ist der Komplementärwinkel des soeben berechneten Winkels .
   Im folgenden Schaubild sind der Graph der Funktion , die Tangente an im Punkt und die Winkel und dargestellt.
   Damit ergibt sich für den gesuchten Winkel :
   Der zwischen Seil und Mast 2 eingeschlossene Winkel beträgt in etwa .

   Länge des Seils

   Die Gesamtlänge des Seils entspricht aufgrund der Symmetrie der doppelten Länge des Seils zwischen dem tiefsten Punkt und dem Aufhängepunkt des Seils an Mast 2. Mithilfe der in Aufgabe 1 h) berechneten Formel gilt dann:

   Die Gesamtlänge des Seils ist dann gegeben durch:
   Das Seil ist also ungefähr lang.

3. Eine allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion ist gegeben durch:

   Dann gilt:
   Der Graph der Funktion hat den Scheitelpunkt und verläuft durch den Punkt . Im Scheitelpunkt hat der Graph eine waagrechte Tangente. Die Funktionsgleichung der Funktion muss also folgende Bedingungen erfüllen:
   Gleichung liefert und aus Gleichung folgt . Diese beiden Parameter werden nun in Gleichung eingesetzt, um zu bestimmen:
   Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:

   Alternativer Weg
   Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion , deren Graph den Scheitelpunkt besitzt, ist gegeben durch:

   Der Wert des Parameters wird mithilfe einer Punktprobe mit dem Punkt bestimmt. Es gelten:
   Es muss also gelten:
   Die Funktionsgleichung der Funktion lautet:

4. Im Intervall gilt laut Aufgabenstellung . Für jedes kann der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte und berechnet werden als:

   Der Term ist die Funktionsgleichung einer Funktion , die jedem den vertikalen Abstand der beiden Graphen an dieser Stelle zuordnet. Der größte Abstand entspricht dann dem Maximum der Funktion .

   Die Funktionen und sind beide stetig differenzierbar. Deshalb ist auch die Funktion als Differenz dieser beiden Funktionen stetig differenzierbar. Es gilt:

   Gesucht ist das Maximum der Funktion : Zunächst werden die Nullstellen der Ableitung und anschließend die Funktionswerte der Funktion an diesen Nullstellen bestimmt.

   Die Funktionswerte werden verglichen und der größte dieser Werte entspricht dann dem maximalen Abstand der beiden Graphen in vertikaler Richtung im Intervall .

   Desweiteren gelten:

   Das größte berechnete Maximum der Funktion innerhalb des Intervalls entspricht dann dem größten Abstand der beiden Graphen in vertikaler Richtung.