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Abi Bayern 2016 Analysis B2

Videolösungen

Aufgabe 1 (1/2)
Aufgabe 1 (2/2)
Aufgabe 2
Aufgabe 3 (1/3)
Aufgabe 3 (2/3)
Aufgabe 3 (3/3)

Aufgabe

Aufgabe

Im Rahmen eines W-Seminars modellieren Schülerinnen und Schüler einen Tunnelquerschnitt, der senkrecht zum Tunnelverlauf liegt. Dazu beschreiben sie den Querschnitt der Tunnelwand durch den Graphen einer Funktion in einem Koordinatensystem. Der Querschnitt des Tunnelbodens liegt dabei auf der -Achse, sein Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Für den Tunnelquerschnitt sollen folgende Bedingungen gelten:

Breite des Tunnelbodens:
Höhe des Tunnels an der höchsten Stelle:
Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens mindestens hoch.

Aufgabe 1

Eine erste Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet die Funktion mit Definitionsbereich .

  1. Zeigen Sie, dass die Bedingungen und in diesem Modell erfüllt sind. Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trifft.
    (6 BE)

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen nun den Abstand der Graphenpunkte vom Ursprung des Koordinatensystems.

  1. Zeigen Sie, dass gilt.
    (3 BE)
  2. Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu minimal ist. Bestimmen Sie die -Koordinaten der Punkte , für die minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an.
    (5 BE)

Aufgabe 2

Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ mit und Definitionsbereich , bei der offensichtlich Bedingung erfüllt ist.

  1. Bestimmen Sie so, dass auch Bedingung erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels.
    Zur Kontrolle: , Inhalt der Querschnittsfläche:
    (5 BE)
  2. Zeigen Sie, dass Bedingung weder bei einer Modellierung mit aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit erfüllt ist.
    (2 BE)

Aufgabe 3

Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen und erfüllt sind, verwendet die Funktion mit Definitionsbereich .

  1. Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte den Abstand hat. Zeichnen Sie den Graphen von in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: , ) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung erfüllt ist.
    (5 BE)

Betrachtet wird nun die Integralfunktion mit Definitionsbereich .

  1. Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von . Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen.

    (5 BE)
  2. Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht.

    (2 BE)

Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade mit der Gleichung modelliert.

  1. Zeigen Sie, dass die Tangente an den Graphen von im Punkt parallel zu verläuft. Zeichnen Sie und in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein.
    (4 BE)
  2. Der Punkt aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der im betrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Abstand in Metern hat. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Ermittlung von .
    (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Nachweis der Bedingung

Die Funktion ist im Intervall definiert und es gelten:

Die Breite des Tunnelbodens entspricht dem Abstand der beiden Nullstellen von . Dieser ist in diesem Modell Längeneinheiten lang. Die Breite des Tunnelbodens beträgt also wie in Bedingung gefordert .

Nachweis der Bedingung

Die höchste Stelle des Tunnels entspricht dem Funktionswert des Maximums von . Hierzu wird die Ableitung der Funktion bestimmt:

Die Nullstelle der Funktion ist damit gegeben durch . Wegen besitzt der Graph von an der Stelle einen Hochpunkt. Es gilt und damit ist Bedingung erfüllt.

Alternativer Weg: Der Graph der Funktion ist eine nach unten geöffnete, zur -Achse symmetrische Parabel. Damit hat der Graph von im Punkt einen Hochpunkt. Es gilt und damit ist Bedingung erfüllt.

Winkel zwischen linker Tunnelwand und Tunnelboden

Der gesuchte Winkel zwischen linker Tunnelwand und Boden entspricht dem Winkel, den die Tangente an den Graphen von im linken Schnittpunkt mit der -Achse und die -Achse einschließen. Hierzu wird zunächst die Steigung der Tangente an der Stelle bestimmt:

Für den eingeschlossenen Winkel gilt dann:
Die Größe des Winkels, den die linke Tunnelwand mit dem Tunnelboden einschließt, beträgt ungefähr .
  1. Der Abstand des Punktes vom Ursprung des Koordinatensystems kann nach dem Satz des Pythagoras wie folgt berechnet werden:
  2. Der Mittelpunkt ist der Ursprung des Koordinatensystems. Der Abstand eines Punktes der Tunnelwand zum Punkt enstpricht also dem Abstand von vom Ursprung. Dieser Abstand wurde in Aufgabenteil b) bestimmt und es gilt:
    Die so definierte Funktion ist dabei definiert für . Gesucht ist nun der kleinste dieser Abstände. Hierzu wird mithilfe der Kettenregel die Ableitung der Funktion bestimmt:
    Die Nullstellen der Ableitung sind dann gegeben durch die Nullstellen des Zählers. Es gilt nach dem Satz vom Nullprodukt:
    Es gelten:
    Die Funktion hat also an der Stelle ein lokales Maximum und an den Stellen und jeweils ein lokales Minimum. Die Funktionswerte dieser lokalen Minima müssen nun noch mit den Randwerten verglichen werden. Es gelten:
    Es gelten
    Damit sind die -Koordinaten der Punkte der Tunnelwand, für die der Abstand zum Mittelpunkt minimal ist, gegeben durch:
    Der Abstand beträgt ungefähr .

Alternativer Weg: Es ist ausreichend, das Minimum der Funktion mit

zu bestimmen. Es gilt:
und damit:
Es gelten:
Die Funktion hat also an der Stelle ein lokales Maximum und an den Stellen und jeweils ein lokales Minimum. Die Funktionswerte dieser lokalen Minima müssen nun noch mit den Randwerten verglichen werden. Es gelten:
Es gelten
Damit sind die -Koordinaten der Punkte der Tunnelwand, für die der Abstand zum Mittelpunkt minimal ist, gegeben durch:
Der Abstand beträgt ungefähr .

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Funktionsgleichung von Damit die Bedingung erfüllt ist, muss gelten , wobei es im Intervall keine weiteren Nullstellen gibt. Es muss also gelten:
    Die Funktion mit
    erfüllt die Bedingung .

Flächeninhalt der Querschnittsfläche

Der Inhalt der Querschnittsfläche bei einer Modellierung des Tunnels durch die Funktion ist gegeben durch:

Die Querschnittsfläche des Tunnels hat einen Inhalt von .
  1. Die Graphen der Funktionen und sind beide achsensymmetrisch zur -Achse, denn es gelten:
    Die Bedingung ist für die Funktion beziehungsweise für die Funktion also genau dann erfüllt, wenn gilt:
    Es gelten:
    Damit erfüllt weder die Modellierung mittels Funktion noch die Modellierung mittels Funktion Bedingung .

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Abstand der Punkte des Graphen von zur Bodenmitte Für alle Punkte des Graphen von gilt:


    Zeichnung des Graphen Der Graph von beschreibt einen Halbkreis um den Mittelpunkt und Radius . Dabei verläuft der Graph nur oberhalb der -Achse. In diesem Modell besitzt also jeder Punkt des Tunnelquerschnitts den selben Abstand zu . Dieser beträgt .

    Nachweis der Bedingung
    Der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zur -Achse und es gilt:
    Die Funktion erfüllt damit Bedingung .
  2. Nachweis von \r Die Integralfunktion ist definiert als:

    Der Wert entspricht damit der Fläche unterhalb des Graphen von im Intervall . Weil der Graph einen Halbkreis mit Radius um den Ursprung beschreibt, ist folglich die Fläche eines Viertelkreises mit Radius . Es gilt also:

    Zuordnung der Graphen Es soll entschieden werden, welcher der folgenden drei Graphen der Graph von ist.

    Die Integralfunktion ist definiert als
    Der Graph von verläuft oberhalb der -Achse. Damit hat der Graph der Funktion eine Nullstelle für und ist im Intervall monoton steigend. Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur -Achse, denn es gilt:
    Damit gilt für , dass
    Der Graph der Funktion muss also punktsymmetrisch zum Ursprung sein. Die Abbildung zeigt somit nicht den Graphen von . Die Funktion hat bei eine Nullstelle. Es gilt:
    Der Graph der Funktion muss also an der Stelle eine waagrechte Tangente haben. Abbildung gehört somit auch nicht zum Graphen von . Abbildung zeigt den Graphen von .
  3. Die Querschnittsfläche des Tunnels ist in diesem Modell gegeben durch:

    Die Querschnittsfläche des Tunnels bei Modellierung mit Funktion wurde in Aufgabe 2 a) bestimmt und es gilt:
    Die prozentuale Abweichung des Wertes von kann dann wie folgt berechnet werden:
    Der Inhalt der Querschnittsfläche der Modellierung mit Funktion weicht ungefähr vom Inhalt der Querschnittsfläche der Modellierung mit Funktion ab.
  4. Parallelität der Geraden
    Zwei Geraden verlaufen parallel zueinander, wenn sie dieselbe Steigung besitzen. Die Steigung der Gerade kann aus der Geradengleichung abgelesen werden. Es gilt:
    Zu zeigen ist also, dass für die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt gilt: . Die Steigung der Tangente an den Graphen von im Punkt entspricht dem Wert der Ableitung von an dieser Stelle.
    Daher wird zunächst mithilfe der Kettenregel die Ableitung der Funktion bestimmt. Es gilt:
    und damit:
    Die Tangente und die Gerade haben also dieselbe Steigung und sind damit parallel zueinander. Der Graph , die Tangente und die Gerade sind im nachfolgenden Koordinatensystem gezeichnet.
    Zeichnung der Geraden
  5. Der Punkt ist laut Aufgabenstellung derjenige Punkt der Tunnelwand, der den kleinsten Abstand zum Hangprofil besitzt. Nun wird auf derjenige Punkt des Hangprofils gesucht, welcher den kleinsten Abstand zu besitzt.
    Der Punkt liegt sowohl auf der Geraden als auch auf der Normalen zum Graphen von im Punkt . Zu bestimmen ist also der Schnittpunkt der Geraden mit der Normalen von im Punkt . Der Abstand dieser beiden Punkte und kann dann mithilfe des Satzes von Pythagoras bestimmt werden und entspricht dem Abstand .