Abi Bayern 2016 Geometrie A2

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben sind die Ebene sowie die Punkte und .

1. Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte und senkrecht zur Ebene verläuft.
   (2 BE)
2. Die Punkte und liegen symmetrisch zu einer Ebene . Ermitteln Sie eine Gleichung von .
   (3 BE)

Aufgabe 2

Gegeben sind die Punkte und .

1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts so, dass gilt: .
   (2 BE)
2. Durch die Punkte und verläuft die Gerade . Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen und gelten: - Jede dieser Geraden schneidet die Gerade orthogonal. - Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt beträgt . Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.
   (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Eine Parametergleichung der Gerade durch die Punkte und ist gegeben durch:

   Ein Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch:
   Der Richtungsvektor der Geraden ist ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene , denn:
   Damit verläuft die Gerade senkrecht zur Ebene .

2. Aufgrund der Symmetrie von und zu der gesuchten Ebene muss diese ebenfalls senkrecht zu der Geraden verlaufen und somit parallel zur Ebene sein. Außerdem ist der Mittelpunkt der Strecke darin enthalten.

   Der Ortsvektor des Mittelpunktes kann berechnet werden, indem man in die Geradengleichung von einsetzt:

   Da die Ebene parallel zur Ebene verläuft, ist der Normalenvektor von ein Vielfaches des Normalenvektors von . Die Koordinatengleichung lautet also zum Beispiel:
   Um zu ermitteln, setzt man den Mittelpunkt in die Koordinatengleichung ein:
   Eine Gleichung von ist gegeben durch:

Lösung zu Aufgabe 2

Diese Aufgabe entspricht Aufgabe 2 aus Aufgabengruppe 1, daher werden hier nur die Ergebnisse angegeben. Die ausführlichen Lösungen sind auf an dieser Stelle zu finden.

1. Der Punkt hat die Koordinaten .
2. Zwei mögliche Geradengleichungen, welche die Bedingungen und erfüllen, lauten
   In der Lösung muss nur eine der Geraden angegeben werden.