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Abi Bayern 2016 Stochastik A2

Videolösungen

Aufgabe 1
Aufgabe 2

Aufgabe

Aufgabe 1

Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl () oder zum zweiten Mal Wappen () oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt: .

  1. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.
    (2 BE)
  2. Die Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. Berechnen Sie den Erwartungswert von .
    (3 BE)

Aufgabe 2

An einem P-Seminar nehmen acht Mädchen und sechs Jungen teil, darunter Anna und Tobias. Für eine Präsentation wird per Los aus den Teilnehmerinnen und Teilnehmern ein Team aus vier Personen zusammengestellt.

  1. Geben Sie zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet werden kann.

    : "Anna und Tobias gehören dem Team an."
    : "Das Team besteht aus gleich vielen Mädchen und Jungen."

    (3 BE)
  2. Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den folgenden Term berechnet werden kann:
    (2 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Ein Zufallsexperiment wird als Laplace-Experiment bezeichnet, wenn alle Versuchsausgänge gleich wahrscheinlich sind. Die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf Zahl oder Wappen zu werfen, beträgt bei einer idealen Münze:
    Somit gilt für die Ergebnismenge folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung.
    Die möglichen Ausgänge sind nicht alle gleich wahrscheinlich, also handelt es sich hierbei um kein Laplace-Experiment.
  2. Die Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der Münzwürfe zu. Man erhält somit folgende Werte für .
    Somit gibt es nur zwei mögliche Ausgänge mit folgenden Wahrscheinlichkeiten:
    Für den Erwartungswert gilt folglich:

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Es sind insgesamt Teilnehmer. Die Anzahl der Möglichkeiten aus diesen Personen zufällig auszuwählen, beträgt .

    Wahrscheinlichkeit von Ereignis

    Da Anna und Tobias dem Team angehören sollen, sind Plätze bereits durch die Beiden belegt. Die restlichen Personen werden aus den verbleibenden Teilnehmern ausgewählt. Die Anzahl der Möglichkeiten hierfür beträgt:

    Weil alle möglichen Auswahlen der Personen gleichwahrscheinlich sind, lautet der Term für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
    Alternativer Weg: Es bezeichne das Ereignis, dass Anna ins Team gewählt wird und das Ereignis, dass Tobias ins Team gewählt wird. Dann ist:
    Die Wahrscheinlichkeit, dass zusätzlich zu Anna auch noch Tobias in das Team gewählt wird, ist gegeben durch:
    Nun kann die Wahrscheinlichkeit, dass beide ins Team gewählt werden, angegeben werden als:

    Wahrscheinlichkeit von Ereignis

    Das Team besteht aus gleich vielen Mädchen und Jungen, somit aus Mädchen und Jungen. Es nehmen Mädchen teil. Die Anzahl der Möglichkeiten aus diesen genau auszuwählen ist gegeben durch:

    Analog beträgt die Anzahl der Möglichkeiten genau aus Jungen auszuwählen
    Der Term für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist beim Ziehen ohne Zurücklegen gegeben durch:
  2. Der gegebene Term lässt sich wie folgt schreiben:
    Der zweite Term beschreibt gerade die Wahrscheinlichkeit, ein Team auszuwählen, welches aus Mädchen und Jungen besteht. Also ein Team, welches ausschließlich aus Jungen besteht. Der gesamte Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses. Der angegebene Term entspricht also der Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens ein Mädchen ins Team gewählt wird.
    Alternativer Weg: Die Wahrscheinlichkeit beschreibt das Ereignis, dass das Team nicht ausschließlich aus Jungen besteht.