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Aufgabe
Aufgabe 1
Gegeben ist die in
-
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an
im Punkt und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die -Achse schneidet.
Zur Kontrolle:(4 BE) -
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von
. Geben Sie den Grenzwert von für an und begründen Sie, dass die Wertemenge von ist. (4 BE) -
Geben Sie für die Funktion
und deren Ableitungsfunktion jeweils das Verhalten für an und zeichnen Sie im Bereich in Abbildung 1 ein. (3 BE)
Die Funktion
-
Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion von
an. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von und der Geraden mit der Gleichung .
Teilergebnis:-Koordinate des Schnittpunkts: (4 BE) -
Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von
unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere der Lage von Punkt , in Abbildung 1 ein. (3 BE) -
Schraffieren Sie in Abbildung 1 ein Flächenstück, dessen Inhalt
dem Wert des Integrals entspricht, wobeidie -Koordinate von Punkt ist. Der Graph von , der Graph der Umkehrfunktion von sowie die beiden Koordinatenachsen schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit Inhalt ein. Geben Sie unter Verwendung von einen Term zur Berechnung von an. (4 BE)
Aufgabe 2
Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in
-
Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 jeweils näherungsweise das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn sowie den Zeitraum an, in dem das Volumen mindestens
beträgt. (2 BE) -
Bestimmen Sie anhand des Graphen der Funktion
näherungsweise die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungs-beginn. (3 BE) -
Erläutern Sie, was es im Sachzusammenhang bedeutet, wenn für ein
die Beziehung gilt. Entscheiden Sie mithilfe von Abbildung 2, ob für diese Beziehung gilt, und begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)
In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers
ebenfalls durch Zu- und Abfluss.
Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für
-
Begründen Sie, dass die Funktionswerte von
für positiv und für negativ sind. (4 BE) -
Erläutern Sie die Bedeutung des Werts des Integrals
fürim Sachzusammenhang. Berechnen Sie das Volumen des Wassers, das sich 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Becken befindet, wenn zu Beobachtungsbeginn Wasser im Becken waren. Begründen Sie, dass es sich hierbei um das maximale Wasservolumen im Beobachtungszeitraum handelt. (6 BE)
Lösung
Lösung zu Aufgabe 1
Die Funktion
-
Tangentengleichung
Gesucht ist die Gleichung der Tangente an den Graphen
im Punkt . Hierzu wird zunächst die Ableitung von bestimmt. Es gilt nach der Produktregel: Die Steigung der Tangente anim Punkt ist gegeben durch Die Tangentehat damit die Gleichung Um den Wert vonzu bestimmen, wird eine Punktprobe mit durchgeführt: Also ist eine Gleichung für die gesuchte Tangente angegeben durch Größe des Winkels
Gesucht ist der Winkel
, unter dem die Tangente die -Achse schneidet. Es gilt: und damit -
Monotonieverhalten
Untersucht wird das Vorzeichenverhalten der Ableitung
. In allen Bereichen, in denen der Graph von oberhalb der -Achse verläuft, ist der Graph von monoton steigend, und in allen Bereichen, in denen der Graph von unterhalb der -Achse verläuft, ist der Graph von monoton fallend. Es gilt: und damit:Der Graphist also streng monoton fallend im Intervall und streng monoton steigend im Intervall . Verhalten im Unendlichen
Die Funktion
ist gegeben durch Es gelten:Damit giltWertemenge von
Der Graph von
ist im Intervall streng monoton fallend und im Intervall streng monoton steigend. Es gilt zusätzlich: Die Ableitunghat an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach . Deshalb besitzt der Graph dort einen Tiefpunkt. Wegen sind die Koordinaten des Tiefpunktes.
Der Graphbesitzt den Tiefpunkt und es gilt für . Damit ist ein globaler Tiefpunkt. Die Wertemenge
von ist gegeben durch: -
Verhalten von
für Für die Funktion
gilt im Definitionsbereich : Es gelten mithilfe der Dominanzregel:und damitVerhalten von
für Für die Funktion
gilt im Definitionsbereich : Es gilt:Ergänzung des Graphen im Bereich
Der Graph der Funktion
ist mononton fallend in diesem Bereich und es gelten: -
für , der Graph strebt also in Richtung Ursprung, ohne dass der Ursprung enthalten ist. -
für , die Steigung des Graphen ist also fast senkrecht.
Mit diesen Informationen kann nun der Graph auch in diesem Bereich eingezeichnet werden.
Zur Überprüfung der Ergebnisse kann eine Wertetabelle mithilfe des Taschenrechners angefertigt werden. -
-
Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion von
Die Definitionsmenge
der Funktion ist gegeben durch Die Wertemengeder Funktion ist dieselbe wie die Wertemenge der Funktion , also Für die Umkehrfunktiongilt dann: Die Definitionsmenge
ist gegeben durch die Wertemenge der Funktion , also Die Wertemengeder Funktion ist gegeben durch die Definitionsmenge der Funktion , also Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von
und der Geraden Die Funktion
ist gegeben durch Es giltist der -Wert des Schnittpunktes gegeben durch die Lösung der Gleichung Der Schnittpunktliegt auf der Geraden , und somit sind die Koordinaten des Schnittpunktes gegeben durch: -
Im nachfolgenden Schaubild sind sowohl der Punkt
als auch die Graphen der Funktion und ihrer Umkehrfunktion skizziert. -
Schraffur des Flächenstücks, dessen Flächeninhalt
entspricht Im nachfolgenden Schaubild ist zusätzlich noch der Flächeninhalt
schraffiert dargestellt. Schraffur des Flächenstücks, dessen Flächeninhalt
entspricht Bestimmung des Flächeninhalts
in Abhängigkeit von Aus der Abbildung kann abgelesen werden, dass sich der Flächeninhalt
wie folgt zusammensetzt:
Lösung zu Aufgabe 2
-
Volumen des Wassers nach 5 Stunden
Aus dem Schaubild kann abgelesen werden, dass das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn ungefähr
groß ist. Zeitraum, in dem das Volumen mindestens
beträgt Aus dem Schaubild kann abgelesen werden, dass das Volumen des Wassers im Zeitraum zwischen 1,4 und 5,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn mindestens
beträgt. -
Die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von
an der Stelle t=2. Diese wird in das Schaubild eingezeichnet. Aus dem Schaubild kann die Steigung der Tangente zum Beiepiel mithilfe eines Steigungsdreiecks abgelesen werden. Die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn ist annähernd. -
Bedeutung der Beziehung
Falls für ein
die Beziehung gilt, so bedeutet das, dass das Wasservolumen 6 Stunden nach dem Zeitpunktgerade unter dem Volumen zum Zeitpunkt liegt. Es sind also ab dem Zeitpunkt genau Wasser abgeflossen. Überprüfung der Aussage für
Untersucht werden soll also, ob die folgende Beziehung gilt:
Aus dem Schaubild kann abgelesen werden:Die Beziehunggilt also nicht. -
Die Funktion
ist definiert als Nullstellen von
Es gilt:
Die Nullstellen der Funktionsind damit gegeben durch und die Lösungen der Gleichung Die Nullstellen vonsind also: Weitere Nullstellen hat die Funktionnicht. Als ganzrationale Funktion ist stetig und es gelten: Damit sind die Funktionswerte vonpositiv für und negativ für .
Im folgenden Schaubild ist der Verlauf des Graphen vonskizziert. -
Der Parameter
stellt die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit und die momentane Änderungsrate des Volumens in dar. Bedeutung des Wertes von
Die Gesamtänderung des Volumens im Zeitraum von
bis kann bestimmt werden durch die Berechnung des Integrals . Ein positiver Wert des Integrals bedeutet, dass das Wasservolumen im Becken im Zeitraum von bis zugenommen hat. Ein negativer Wert des Integrals besagt, dass das Wasservolumen im Becken im Zeitraum von bis abgenommen hat. Wenn das Integral den Wert Null hat, so ist in dem Zeitraum von bis dasselbe Wasservolumen abgeflossen wie zugeflossen. Volumen im Becken 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn
Die Änderung des Wasservolumens im Becken in den ersten 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn lässt sich beschreiben durch das Integral:
In den ersten 7,5 Stunden ändert sich das Wasservolumen im Becken um.
Zu Beginn warenWasser im Becken, und damit sind 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn insgesamt Wasser im Becken enthalten. Begründung, dass dies die maximale Wassermenge ist
Im vorangegangenen Aufgabenteil wurde gezeigt, dass die Funktionswerte von
für positiv und für negativ sind. An der Stelle
hat die Funktion also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach . Eine Stammfunktion von hat damit an dieser Stelle ein Maximum. Das Volumen des Wassers im Becken zum Zeitpunkt ist gegeben durch Der Wertist eine Konstante und somit ist das Volumen des Wassers im Becken genau dann am größten, wenn die Funktion ein Maximum hat. Das Volumen des Wassers im Becken ist also 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn am größten.