Abi Bayern 2017 Analysis B1

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die in definierte Funktion . Abbildung 1 zeigt den Graphen von im Bereich .

1. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an im Punkt und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die -Achse schneidet.
   Zur Kontrolle:

   (4 BE)

2. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von . Geben Sie den Grenzwert von für an und begründen Sie, dass die Wertemenge von ist.

   (4 BE)

3. Geben Sie für die Funktion und deren Ableitungsfunktion jeweils das Verhalten für an und zeichnen Sie im Bereich in Abbildung 1 ein.

   (3 BE)

Die Funktion mit Definitionsmenge unterscheidet sich von der Funktion nur hinsichtlich der Definitionsmenge. Im Gegensatz zu ist die Funktion umkehrbar.

4. Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion von an. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von und der Geraden mit der Gleichung .
   Teilergebnis: -Koordinate des Schnittpunkts:

   (4 BE)

5. Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere der Lage von Punkt , in Abbildung 1 ein.

   (3 BE)

6. Schraffieren Sie in Abbildung 1 ein Flächenstück, dessen Inhalt dem Wert des Integrals

   entspricht, wobei die -Koordinate von Punkt ist. Der Graph von , der Graph der Umkehrfunktion von sowie die beiden Koordinatenachsen schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit Inhalt ein. Geben Sie unter Verwendung von einen Term zur Berechnung von an.
   (4 BE)

Aufgabe 2

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in definierten Funktion . Sie beschreibt modellhaft das sich durch Zu- und Abfluss ändernde Volumen von Wasser in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei bezeichnen die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und das Volumen in Kubikmetern.

1. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 jeweils näherungsweise das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn sowie den Zeitraum an, in dem das Volumen mindestens beträgt.

   (2 BE)

2. Bestimmen Sie anhand des Graphen der Funktion näherungsweise die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungs-beginn.

   (3 BE)

3. Erläutern Sie, was es im Sachzusammenhang bedeutet, wenn für ein die Beziehung gilt. Entscheiden Sie mithilfe von Abbildung 2, ob für diese Beziehung gilt, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

   (3 BE)

In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für modellhaft durch die in definierte Funktion

4. Begründen Sie, dass die Funktionswerte von für positiv und für negativ sind.

   (4 BE)

5. Erläutern Sie die Bedeutung des Werts des Integrals

   für im Sachzusammenhang. Berechnen Sie das Volumen des Wassers, das sich 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Becken befindet, wenn zu Beobachtungsbeginn Wasser im Becken waren. Begründen Sie, dass es sich hierbei um das maximale Wasservolumen im Beobachtungszeitraum handelt.
   (6 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Die Funktion ist gegeben durch

1. Tangentengleichung

   Gesucht ist die Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt . Hierzu wird zunächst die Ableitung von bestimmt. Es gilt nach der Produktregel:

   Die Steigung der Tangente an im Punkt ist gegeben durch
   Die Tangente hat damit die Gleichung
   Um den Wert von zu bestimmen, wird eine Punktprobe mit durchgeführt:
   Also ist eine Gleichung für die gesuchte Tangente an gegeben durch

   Größe des Winkels

   Gesucht ist der Winkel , unter dem die Tangente die -Achse schneidet. Es gilt:

   und damit

2. Monotonieverhalten

   Untersucht wird das Vorzeichenverhalten der Ableitung . In allen Bereichen, in denen der Graph von oberhalb der -Achse verläuft, ist der Graph von monoton steigend, und in allen Bereichen, in denen der Graph von unterhalb der -Achse verläuft, ist der Graph von monoton fallend. Es gilt:

   und damit:
   Der Graph ist also streng monoton fallend im Intervall und streng monoton steigend im Intervall .

   Verhalten im Unendlichen

   Die Funktion ist gegeben durch

   Es gelten:
   Damit gilt

   Wertemenge von

   Der Graph von ist im Intervall streng monoton fallend und im Intervall streng monoton steigend. Es gilt zusätzlich:

   Die Ableitung hat an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach . Deshalb besitzt der Graph dort einen Tiefpunkt. Wegen
   sind die Koordinaten des Tiefpunktes .
   Der Graph besitzt den Tiefpunkt und es gilt für . Damit ist ein globaler Tiefpunkt.

   Die Wertemenge von ist gegeben durch:

3. Verhalten von für

   Für die Funktion gilt im Definitionsbereich :

   Es gelten mithilfe der Dominanzregel:
   und damit

   Verhalten von für

   Für die Funktion gilt im Definitionsbereich :

   Es gilt:

   Ergänzung des Graphen im Bereich

   Der Graph der Funktion ist mononton fallend in diesem Bereich und es gelten:

   • für , der Graph strebt also in Richtung Ursprung, ohne dass der Ursprung enthalten ist.
   • für , die Steigung des Graphen ist also fast senkrecht.

   Mit diesen Informationen kann nun der Graph auch in diesem Bereich eingezeichnet werden.

   Zur Überprüfung der Ergebnisse kann eine Wertetabelle mithilfe des Taschenrechners angefertigt werden.

4. Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion von

   Die Definitionsmenge der Funktion ist gegeben durch

   Die Wertemenge der Funktion ist dieselbe wie die Wertemenge der Funktion , also
   Für die Umkehrfunktion gilt dann:

   Die Definitionsmenge ist gegeben durch die Wertemenge der Funktion , also

   Die Wertemenge der Funktion ist gegeben durch die Definitionsmenge der Funktion , also

   Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von und der Geraden

   Die Funktion ist gegeben durch

   Es gilt ist der -Wert des Schnittpunktes gegeben durch die Lösung der Gleichung
   Der Schnittpunkt liegt auf der Geraden , und somit sind die Koordinaten des Schnittpunktes gegeben durch:

5. Im nachfolgenden Schaubild sind sowohl der Punkt als auch die Graphen der Funktion und ihrer Umkehrfunktion skizziert.

6. Schraffur des Flächenstücks, dessen Flächeninhalt entspricht

   Im nachfolgenden Schaubild ist zusätzlich noch der Flächeninhalt schraffiert dargestellt.

   Schraffur des Flächenstücks, dessen Flächeninhalt entspricht

   Bestimmung des Flächeninhalts in Abhängigkeit von

   Aus der Abbildung kann abgelesen werden, dass sich der Flächeninhalt wie folgt zusammensetzt:

Lösung zu Aufgabe 2

1. Volumen des Wassers nach 5 Stunden

   Aus dem Schaubild kann abgelesen werden, dass das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn ungefähr groß ist.

   Zeitraum, in dem das Volumen mindestens beträgt

   Aus dem Schaubild kann abgelesen werden, dass das Volumen des Wassers im Zeitraum zwischen 1,4 und 5,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn mindestens beträgt.

2. Die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von an der Stelle t=2. Diese wird in das Schaubild eingezeichnet.

   Aus dem Schaubild kann die Steigung der Tangente zum Beiepiel mithilfe eines Steigungsdreiecks abgelesen werden. Die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn ist annähernd .

3. Bedeutung der Beziehung

   Falls für ein die Beziehung

   gilt, so bedeutet das, dass das Wasservolumen 6 Stunden nach dem Zeitpunkt gerade unter dem Volumen zum Zeitpunkt liegt. Es sind also ab dem Zeitpunkt genau Wasser abgeflossen.

   Überprüfung der Aussage für

   Untersucht werden soll also, ob die folgende Beziehung gilt:

   Aus dem Schaubild kann abgelesen werden:
   Die Beziehung gilt also nicht.

4. Die Funktion ist definiert als

   Nullstellen von

   Es gilt:

   Die Nullstellen der Funktion sind damit gegeben durch und die Lösungen der Gleichung
   Die Nullstellen von sind also:
   Weitere Nullstellen hat die Funktion nicht. Als ganzrationale Funktion ist stetig und es gelten:
   Damit sind die Funktionswerte von positiv für und negativ für .
   Im folgenden Schaubild ist der Verlauf des Graphen von skizziert.

5. Der Parameter stellt die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit und die momentane Änderungsrate des Volumens in dar.

   Bedeutung des Wertes von

   Die Gesamtänderung des Volumens im Zeitraum von bis kann bestimmt werden durch die Berechnung des Integrals . Ein positiver Wert des Integrals bedeutet, dass das Wasservolumen im Becken im Zeitraum von bis zugenommen hat. Ein negativer Wert des Integrals besagt, dass das Wasservolumen im Becken im Zeitraum von bis abgenommen hat. Wenn das Integral den Wert Null hat, so ist in dem Zeitraum von bis dasselbe Wasservolumen abgeflossen wie zugeflossen.

   Volumen im Becken 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn

   Die Änderung des Wasservolumens im Becken in den ersten 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn lässt sich beschreiben durch das Integral:

   In den ersten 7,5 Stunden ändert sich das Wasservolumen im Becken um .
   Zu Beginn waren Wasser im Becken, und damit sind 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn insgesamt Wasser im Becken enthalten.

   Begründung, dass dies die maximale Wassermenge ist

   Im vorangegangenen Aufgabenteil wurde gezeigt, dass die Funktionswerte von für positiv und für negativ sind.

   An der Stelle hat die Funktion also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach . Eine Stammfunktion von hat damit an dieser Stelle ein Maximum. Das Volumen des Wassers im Becken zum Zeitpunkt ist gegeben durch

   Der Wert ist eine Konstante und somit ist das Volumen des Wassers im Becken genau dann am größten, wenn die Funktion ein Maximum hat.

   Das Volumen des Wassers im Becken ist also 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn am größten.