Abi Bayern 2017 Geometrie A1

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben sind die Punkte , und .

1. Weisen Sie nach, dass der Punkt auf der Geraden , nicht aber auf der Strecke liegt.
   (3 BE)
2. Auf der Strecke gibt es einen Punkt , der von dreimal so weit entfernt ist wie von . Bestimmen Sie die Koordinaten von .
   (2 BE)

Aufgabe 2

Gegeben ist die Ebene .

1. Der Schnittpunkt von mit der -Achse, der Schnittpunkt von mit der -Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
   (2 BE)
2. Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene ist.
   (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Zunächst stellt man die Gerade durch und auf:
   Dann gilt
   Somit ist gezeigt, dass der Punkt auf der Geraden durch und liegt.
   Punkte, die auf der Strecke liegen, erhält man, wenn der Parameter zwischen und liegt. Dies ist hier nicht der Fall:
2. Damit der Punkt wie gefordert dreimal so weit von entfernt ist wie von , muss man die Strecke in vier gleich große Stücke unterteilen. Um die Koordinaten des Punktes zu erhalten berechnet man:
   Es gilt also .

Lösung zu Aufgabe 2

1. Zur Bestimmung der Schnittpunkte von mit den jeweiligen Koordinatenachsen müssen die übrigen Komponenten Null sein. Es folgt:
   Der dritte Eckpunkt des Dreiecks ist der Ursprung. Die Punkte liegen alle in der -Ebene. Im Ursprung befindet sich zwischen der - und der -Achse ein rechter Winkel. Daher kann der Flächeninhalt des Dreiecks direkt bestimmt werden:
   Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt .
2. Ein Normalenvektor der Ebene kann aus der Ebenengleichung abgelesen werden:
   Jeder andere Normalenvektor muss ein Vielfaches dieses Vektors sein, also mit :
   Um den gesuchten Vektor zu erhalten, wird der Vektor in die Ebenengleichung eingesetzt.
   Damit ergibt sich für den gesuchten Vektor: