Abi Bayern 2017 Geometrie B1

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte , , und gegeben. Sie liegen in einer Ebene und bilden ein Viereck , dessen Diagonalen sich im Punkt schneiden.

1. Begründen Sie, dass die Gerade parallel zur -Ebene verläuft.
   (1 BE)
2. Weisen Sie nach, dass das Viereck ein Rechteck ist. Bestimmen Sie die Koordinaten von .
   Teilergebnis: ]
   (4 BE)
3. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene in Normalenform.
   mögliches Ergebnis:
   (3 BE)
   Ein Solarmodul wird an einem Metallrohr befestigt, das auf einer horizontalen Fläche senkrecht steht.

Das Solarmodul wird modellhaft durch das Rechteck dargestellt. Das Metallrohr lässt sich durch eine Strecke, der Befestigungspunkt am Solarmodul durch den Punkt beschreiben (vgl. Abbildung). Die horizontale Fläche liegt im Modell in der -Ebene des Koordinatensystems; eine Längeneinheit entspricht in der Realität.

4. Um einen möglichst großen Energieertrag zu erzielen, sollte die Größe des Neigungswinkels des Solarmoduls gegenüber der Horizontalen zwischen und liegen. Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist.
   (3 BE)
5. Auf das Solarmodul fällt Sonnenlicht, das im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird, die senkrecht zur Ebene verlaufen. Das Solarmodul erzeugt auf der horizontalen Fläche einen rechteckigen Schatten. Zeigen Sie unter Verwendung einer geeignet beschrifteten Skizze, dass der Flächeninhalt des Schattens mithilfe des Terms
   berechnet werden kann.
   (5 BE)
6. Um die Sonneneinstrahlung im Laufe des Tages möglichst effektiv zur Energiegewinnung nutzen zu können, lässt sich das Metallrohr mit dem Solarmodul um die Längsachse des Rohrs drehen. Die Größe des Neigungswinkels gegenüber der Horizontalen bleibt dabei unverändert. Betrachtet wird der Eckpunkt des Solarmoduls, der im Modell durch den Punkt dargestellt wird. Berechnen Sie den Radius des Kreises, auf dem sich dieser Eckpunkt des Solarmoduls bei der Drehung des Metallrohrs bewegt, auf Zentimeter genau.
   (4 BE)

Lösung

1. Eine Gleichung der Geraden durch die Punkte und ist gegeben durch:

   beziehungsweise:
   Eine Koordinatengleichung der -Ebene ist gegeben durch:
   Ein Normalenvektor der -Ebene und ein Richtungsvektor der Geraden sind also
   Es gilt:
   Der Richtungsvektor der Geraden steht also senkrecht zum Normalenvektor der -Ebene. Der Punkt liegt auf der Geraden , aber nicht in der -Ebene. Damit verläuft die Gerade durch die Punkte und echt parallel zur -Ebene.

2. Nachweis, dass ein Rechteck ist

   Das Viereck ist ein Rechteck, falls zwei gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind und zwei aneinandergrenzende Seiten rechtwinklig aufeinander stehen. Folgende Bedingungen müssen also erfüllt sein:

   Es gilt:

   und außerdem
   Damit ist das Viereck ein Rechteck.

   Koordinaten von

   Der Punkt ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Rechtecks . In einem Rechteck schneiden sich die Diagonalen in deren Mittelpunkt. Es gilt also:

   Der Punkt hat die Koordinaten .

3. Das Rechteck liegt in der Ebene . Eine Parameterform der Ebene ist gegeben durch:

   Also:
   Ein Normalenvektor der Ebene kann zum Beispiel mithilfe des Kreuzproduktes der beiden Spannvektoren von bestimmt werden:
   Also hat die Koordinatengleichung von die Form:
   Um den Wert des Parameters zu bestimmen, wird eine Punktprobe mit dem Punkt durchgeführt:
   Eine Koordinatengleichung der Ebene ist gegeben durch:
   Dieses Ergebnis stimmt mit dem Kontrollergebnis überein.

4. Gesucht ist der Neigungswinkel der Ebene gegenüber der -Ebene. Der Normalenvektor der -Ebene ist gegeben durch:

   Für den zwischen den beiden Ebenen eingeschlossenen Winkel gilt
   und damit:
   Der Winkel zwischen dem Solarmodul und der horizontalen Fläche beträgt ungefähr , und damit ist die erforderliche Bedingung erfüllt.

5. Im folgenden Schaubild wird der Sachverhalt dargestellt.

   Zunächst wird die Ebene so verschoben, dass die Punkte und in die Punkte und verschoben werden. Diese sind die Schnittpunkte der senkrecht zur Ebene und durch die Punkte beziehungsweise verlaufenden Geraden, welche die Sonnenstrahlen beschreiben, mit der -Ebene. Die Punkte und werden entsprechend der Skizze mitverschoben. Die Punkte und sind bereits die Schattenpunkte von beziehungsweise . Die Schattenpunkte von und sind in der Skizze durch die Punkte beziehungsweise dargestellt. Der Flächeninhalt des Schattens ist gegeben durch:
   Aus der Skizze kann abgelesen werden:
   und damit
   Eine Längeneinheit entspricht und damit kann der Flächeninhalt des Schattens mithilfe des Terms
   berechnet werden.

6. Das Metallrohr lässt sich mit dem Solarmodul um die Längsachse des Rohrs drehen wie im nachfolgenden Schaubild skizziert.

   Der Radius des Kreises, den der Punkt bei Drehung des Moduls beschreibt, entspricht folglich dem Abstand des Punktes von der Längsachse des Rohres.

   Bestimmung einer Hilfsebene

   Gesucht ist die Gleichung einer Ebene , welche den Punkt enthält und senkrecht zur Längsachse des Rohres steht. Die Längsachse des Metallrohrs verläuft innerhalb der Geraden mit der Gleichung

   Der Richtungsvektor von ist ein Normalenvektor der Hilfsebene , und eine Koordinatengleichung von ist gegeben durch:
   Weil der Punkt in der Ebene liegt, kann durch eine Punktprobe der Wert des Parameters bestimmt werden:
   Eine Koordinatengleichung der Hilfsebene ist gegeben durch:

   Koordinaten des Lotfußpunktes

   Der Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt der Hilfsebene mit der Längsachse des Rohres :

   Die Koordinaten des Lotfußpunktes ergeben sich aus:
   Der Punkt besitzt die Koordinaten .

   Abstand zwischen und

   Der Abstand zwischen und entspricht der Länge des Vektors . Es gilt:

   Kreisradius

   Der Radius des Kreises, den der Punkt bei Drehung des Solarmoduls um die Längsachse des Rohres beschreibt, entspricht dem Abstand zwischen den Punkten und , also

   Eine Längeneinheit entspricht in der Realität und damit ist der Radius des Kreises
   Der Punkt beschreibt einen Kreis mit Radius um die Längsachse des Rohres.