Abi Bayern 2017 Geometrie B2

Aufgabe

Ein geschlossenes Zelt, das auf horizontalem Untergrund steht, hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die von der Zeltspitze ausgehenden Seitenkanten werden durch vier gleich lange Stangen gebildet. Das Zelt ist hoch, die Seitenlänge des Zeltbodens beträgt .

Das Zelt wird in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) modellhaft durch eine Pyramide mit der Spitze dargestellt. Der Punkt liegt im Koordinatenursprung, hat die Koordinaten . Der Punkt liegt auf der -Achse, auf der -Achse. Das Dreieck liegt in der Ebene . Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

1. Geben Sie die Koordinaten der Punkte und an und zeichnen Sie die Pyramide in ein Koordinatensystem ein.
   (3 BE)
2. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene , in der das Dreieck liegt, in Normalenform.
   mögliches Ergebnis:
   (3 BE)
3. Jeweils zwei benachbarte Zeltwände schließen im Inneren des Zelts einen stumpfen Winkel ein. Ermitteln Sie die Größe dieses Winkels.
   (3 BE)
4. Im Zelt ist eine Lichtquelle so aufgehängt, dass sie von jeder der vier Wände einen Abstand von hat. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punkts, der im Modell die Lichtquelle darstellt.
   (4 BE)
5. Bestimmen Sie eine Gleichung der Symmetrieachse des Dreiecks .
   (2 BE)
6. Ein Teil der Zeltwand, die im Modell durch das Dreieck dargestellt wird, kann mithilfe zweier vertikal stehender Stangen der Länge zu einem horizontalen Vordach aufgespannt werden (vgl. Abbildung 2). Die dadurch entstehende breite Öffnung in der Zeltwand wird im Modell durch ein Rechteck dargestellt, das symmetrisch zu liegt. Dabei liegt eine Seite dieses Rechtecks auf der Strecke . Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vordachs.
   (5 BE)

Lösung

1. Die Koordinaten der Punkte und sind gegeben durch:

   Im nachfolgenden Schaubild ist die Pyramide skizziert.

2. Gesucht ist eine Gleichung der Ebene in Normalenform, in welcher das Dreieck liegt. Eine Gleichung der Ebene in Paramterform ist gegeben durch:

   Also:
   Ein Normalenvektor der Ebene kann bestimmt werden als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren von :
   Der Punkt liegt auf der Ebene, und somit lautet eine Normalenform von :
   Diese ist äquivalent zum Kontrollergebnis, denn es gilt:

3. Gesucht ist der Winkel , welchen die beiden Ebenen und einschließen. Es gilt:

   und weil der Winkel laut Aufgabenstellung ein stumpfer Winkel ist:
   Die beiden Zeltwände schließen also einen Winkel von ungefähr ein.

4. Aufgrund der Symmetrie des Zeltes muss die Lichtquelle auf der Geraden liegen mit

   Alle Punkte auf der Geraden haben also die Koordinaten . Gesucht ist nun dasjenige , sodass der Abstand von zur Ebene gerade beträgt.
   Der Abstand von zu ist gegeben durch:
   Es soll also gelten:
   Damit gibt es folgende Lösungen für :
   Die erste Lösung scheidet aus, weil die Lichtquelle nicht im Zelt hängen würde. Die Lichtquelle muss also im Punkt angebracht werden.

5. Die Symmetrieachse des Dreiecks verläuft durch den Punkt und den Mittelpunkt der Strecke . Zunächst werden die Koordinaten des Punktes bestimmt:

   Die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke sind . Die Symmetrieachse des Dreiecks verläuft durch die Punkten und :

6. In der nachfolgenden Skizze wird der Sachverhalt veranschaulicht.

   Bestimmung des Winkels

   Das Dreieck liegt in der Ebene . Für den Winkel , welchen die Zeltwand, die im Modell durch das Dreieck dargestellt wird, und der -Ebene gilt:

   und damit:

   Bestimmung der Länge

   Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Realität. Für die Länge gilt also:

   Also:

   Flächeninhalt des Vordaches

   Das Vordach ist rechtwinklig. Der Flächeninhalt kann bestimmt werden als Produkt der beiden Seitenlängen:

   Das Vordach hat damit einen Flächeninhalt von