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Abi Bayern 2018 Analysis A2

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion mit maximalem Definitionsbereich . Geben Sie an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von im Punkt .

(6 VP)

Aufgabe 2

Gegeben ist die in definierte Funktion mit . Weisen Sie nach, dass folgende Eigenschaften besitzt:

  • Der Graph von besitzt an der Stelle die Steigung .
  • Der Graph von besitzt im Punkt die -Achse als Tangente.
  • Die Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt kann durch die Gleichung beschrieben werden.
    (5 VP)

Aufgabe 3

Die Abbildung zeigt eine nach unten geöffnete Parabel, die zu einer Funktion mit Definitionsbereich gehört. Der Scheitel der Parabel hat die -Koordinate .

Betrachtet wird die in definierte Integralfunktion .

Wie viele Nullstellen hat ? Machen Sie Ihre Antwort ohne Rechnung plausibel.

(4 VP)

Aufgabe 4

Für jeden Wert von mit ist eine Funktion durch mit gegeben.

  1. Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.

(2 BE)
  1. Für jeden Wert von besitzt der Graph von genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von , für den der Graph der Funktion an der Stelle einen Extrempunkt hat.
    (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Bestimmung der maximalen Definitionsmenge

Zunächst darf der Term unter der Wurzel, also der Radikand, nicht negativ sein. Es muss also gelten:

Weitere Einschränkungen gibt es nicht, sodass für den maximalen Definitionsbereich gilt:

Bestimmung der Tangentengleichung

Gesucht ist die Gleichung der Tangente an den Graphen von im Punkt . Dazu wird die Ableitung der Funktion bestimmt:

und damit:
Die Steigung der Tangente an den Graphen von im Punkt ist gegeben durch:
Die gesuchte Tangente hat damit die Gleichung
Nun werden die vollständigen Koordinaten des Punktes durch Einsetzen in den Funktionsterm bestimmt:
Eine Punktprobe mit dem Punkt liefert den Wert des -Achsenabschnitts:
Die Tangente an den Graphen von im Punkt hat damit die Gleichung

Lösung zu Aufgabe 2

Die Funktion ist gegeben durch:

Zunächst wird die Ableitung der Funktion bestimmt:
  • Es gilt also:
    Der Graph von besitzt also an der Stelle die Steigung .
  • Nachzuweisen ist, dass die Gleichung der Tangente an den Graphen von im Punkt ist. Zunächst wird der Funktionswert von an der Stelle bestimmt: Es gilt:
    Außerdem gilt:
    Es gelten also und , damit hat der Graph von im Punkt die -Achse als Tangente.
  • Zunächst wird auch hier der Funktionswert von an der Stelle bestimmt:
    Der Graph von verläuft daher durch den Punkt . Außerdem gilt:
    Eine Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt hat also die Gleichung
    Eine Punktprobe mit dem Punkt liefert den Wert des -Achsenabschnitts :
    Damit hat die Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt die Gleichung .

Lösung zu Aufgabe 3

Die Integralfunktion besitzt maximal drei Nullstellen

Nach Aufgabenstellung zeigt die Abbildung eine Parabel, also den Graphen einer Funktion zweiten Grades. Die Integralfunktion , gegeben durch

ist eine Stammfunktion von und damit eine Funktion dritten Grades. Als Funktion dritten Grades kann höchstens drei Nullstellen besitzen.

Die Funktion besitzt genau drei Nullstellen

  • Es gilt:
    Damit hat die Funktion die Nullstelle .
  • Die Funktion beschreibt für den orientierten Flächeninhalt, welchen der Graph von im Intervall mit der -Achse einschließt. Es gibt eine weitere Nullstelle , für welche der Flächeninhalt, den der Graph von oberhalb der -Achse einschließt, genau gleich groß ist wie der Flächeninhalt unterhalb der -Achse. Im nachfolgenden Schaubild ist der Sachverhalt veranschaulicht.

  • Die Funktion beschreibt für das negative des orientierten Flächeninhalts, welchen der Graph von im Intervall mit der -Achse einschließt. Es gibt eine weitere Nullstelle , für welche der Flächeninhalt, den der Graph von oberhalb der -Achse einschließt, genau gleich groß ist wie der Flächeninhalt unterhalb der -Achse. Im nachfolgenden Schaubild ist der Sachverhalt veranschaulicht.

Damit hat die Funktion genau drei Nullstellen.

Lösung zu Aufgabe 4

  1. Der Graph einer Funktion der gegebenen Schar verläuft wegen von unten links nach oben rechts. Es gilt:
    Die Funktion ist eine Funktion dritten Grades und kann daher maximal drei Nullstellen besitzen. Die Graphen der Abbildungen 1 und 2 besitzen jeweils drei Nullstellen im dargestellten Bereich. Das Verhalten im Unendlichen entspricht daher dem Verhalten des Graphen an den Rändern des dargestellten Bereichs, und damit kommt nur der Graph aus Abbildung 2 infrage.
  2. Zunächst wird die erste Ableitung der Funktion bestimmt:
    Die Nullstellen der Ableitung sind gegeben durch:
    Laut Aufgabenstellung soll der Graph der Funktion an der Stelle einen Extrempunkt haben. Es soll also gelten:
    Desweiteren gilt:
    und damit:
    Es gilt also
    Der Graph der Funktion hat an der Stelle einen Tiefpunkt.