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Abi Bayern 2018 Analysis B1

Aufgabe

Aufgabe

Gegeben ist die in definierte Funktion . Abbildung 1 zeigt den Graphen von .

Aufgabe 1

  1. Zeigen Sie, dass und die einzigen Nullstellen von sind, und berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunkts von .
    Zur Kontrolle:
    (5 BE)
  2. Zeigen Sie, dass genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an im Punkt .
    Zur Kontrolle: -Koordinate von :
    (6 BE)
  3. Begründen Sie, dass und gilt. Geben Sie und auf eine Dezimalstelle genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 ein.
    (6 BE)
  4. Begründen Sie unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte gibt, für die gilt: .
    (3 BE)

Die gebrochen-rationale Funktion mit stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für dar.

  1. Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen von an.
    (2 BE)
  2. Im IV. Quadranten schließt zusammen mit der -Achse und den Geraden mit den Gleichungen und ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn bei der Berechnung des Flächeninhalts die Funktion als Näherung für die Funktion verwendet wird.
    (5 BE)

Aufgabe 2

Durch Spiegelung von an der Geraden entsteht der Graph einer in definierten Funktion . Dieser Graph wird mit bezeichnet.

  1. Zeichnen Sie in Abbildung 1 ein.
    (2 BE)
  2. Die beschriebene Spiegelung von an der Geraden kann durch eine Spiegelung von an der -Achse mit einer anschließenden Verschiebung ersetzt werden. Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie an, sodass für gilt.
    (3 BE)
    Im Folgenden wird die „w-förmige“ Kurve betrachtet, die sich aus dem auf \mbox{} beschränkten Teil von und dem auf beschränkten Teil von zusammensetzt. Die Kurve wird um Einheiten in negative -Richtung verschoben. Die dabei überstrichene Fläche dient als Modell für ein Meter langes Aquarium, das durch zwei ebene Wände an Vorderund Rückseite zu einem Becken ergänzt wird (vgl. Abbildung 1). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

  1. Die Aquariumwände bilden an der Unterseite einen Tunnel, durch den die Besucher hindurchgehen können. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die linke und die rechte Tunnelwand miteinander einschließen.
    (3 BE)
    Das Aquarium wird vollständig mit Wasser gefüllt.
  2. Berechnen Sie die größtmögliche Wassertiefe des Aquariums.
    (2 BE)
  3. Das Volumen des Wassers im Aquarium lässt sich analog zum Rauminhalt eines Prismas mit Grundfläche und Höhe berechnen. Erläutern Sie, dass der Term das Wasservolumen im vollgefüllten Aquarium in Kubikmetern beschreibt.
    (3 BE)