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Abi Bayern 2018 Analysis B2

Videolösungen

Aufgabe 1 Teil 1/5
Aufgabe 1 Teil 2/5
Aufgabe 1 Teil 3/5
Aufgabe 1 Teil 4/5
Aufgabe 1 Teil 5/5
Aufgabe 2

Aufgabe

Aufgabe 1

Abbildung 1 zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades mit Definitionsmenge . schneidet die -Achse bei , und und verläuft durch den Punkt .

  1. Ermitteln Sie einen Funktionsterm von .
    Zur Kontrolle:
    (4 BE)
  2. Zeigen Sie, dass im Punkt einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an im Punkt .
    (6 BE)
  3. geht aus dem Graphen der in definierten Funktion durch eine Verschiebung in positive -Richtung hervor. Ermitteln Sie, um wie viel der Graph von dazu verschoben werden muss. Begründen Sie mithilfe der Funktion , dass der Graph von symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.
    (4 BE)

Im Folgenden wird die in definierte Funktion mit betrachtet.

  1. hat für zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Angaben.
    (3 BE)
  2. Begründen Sie mithilfe von Abbildung 1, dass mindestens eine weitere positive Nullstelle hat.
    (2 BE)
  3. Begründen Sie, dass höchstens vier Nullstellen hat.
    (2 BE)
  4. Für gilt, dass der Graph von und der Graph einer trigonometrischen Funktion

    • die gleichen Schnittpunkte mit der -Achse besitzen
    • beide nicht unterhalb der -Achse verlaufen,
    • jeweils mit der -Achse eine Fläche des Inhalts einschließen.

    Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion .

    (6 BE)

Aufgabe 2

Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion mit beschrieben werden. Dabei gibt die Kosten in 1000 Euro an, die bei der Produktion von Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Abbildung 2 zeigt den Graphen von .

  1. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2

    • die Produktionsmenge an, bei der die Kosten Euro betragen.
    • das Monotonieverhalten von an und deuten Sie Ihre Angaben im Sachzusammenhang.
      (3 BE)

    Die Funktion mit gibt für den Erlös (in 1000 Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion gilt . Positive Werte von werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.

  2. Zeigen Sie, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.

    (2 BE)
  3. Zeichnen Sie den Graphen von in Abbildung 2 ein. Bestimmen Sie mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.
    (3 BE)
  4. Berechnen Sie, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
    (5 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat folgende allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen:

    Laut Aufgabenstellung hat die Funktion die Nullstellen , und . Die Punkte , und liegen also auf dem Graphen von und es muss gelten:
    Der Punkt liegt auf dem Graphen von und damit muss gelten:
    Diese vier Bedingungen führen in der angeführten Reihenfolge zu folgendem Gleichungssystem:
    Aus der ersten Gleichung folgt direkt .
    Setzt man in die verbleibenden Gleichungen ein, so erhält man drei Gleichungen mit drei Variablen.
    Damit ergibt sich:
    beziehungsweise:
    Aus der Gleichung folgt:
    Den Wert in eingesetzt, ergibt:
    Nun werden die Werte und in eingesetzt. Dies ergibt:
    Eine Funktionsgleichung der Funktion lautet somit:
  2. Nachweis, dass ein Wendepunkt ist

    Zunächst werden die ersten drei Ableitungen der Funktion bestimmt:

    Es ist zu zeigen, dass eine Nullstelle von ist. Es gilt:
    Außerdem gelten:
    Damit besitzt der Graph an der Stelle einen Wendepunkt. Laut Aufgabenstellung schneidet der Graph die -Achse an der Stelle und damit besitzt der Graph von den Wendepunkt .

    Bestimmung der Tangentengleichung im Wendepunkt

    Gesucht ist die Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt . Die Steigung der Tangente ist gegeben durch:

    Die Tangente hat damit die Gleichung
    Um den Wert von zu bestimmen, wird eine Punktprobe mit durchgeführt:
    Also ist eine Gleichung für die gesuchte Tangente an gegeben durch
  3. Falls der Graph von um Einheiten in positive -Richtung verschoben wird, so gehört dieser Graph zur Funktion , wobei
    Gesucht ist nun derjenige Wert des Parameters , für den gilt:
    Also:
    Ein Koeffizientenvergleich, beispielsweise für , liefert:
    Der Graph von muss also um 5 Einheiten in positive -Richtung verschoben werden, damit er dem Graphen von entspricht. Desweiteren ist der Graph von punktsymmetrisch zum Ursprung, weil die Funktion ganzrational ist und nur ungerade Potenzen enthält. Damit ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt .
  4. Die Funktion ist definiert als
    Es gilt:
    Damit hat die Funktion eine Nullstelle bei . Der Wert beschreibt den orientierten Flächeninhalt, den der Graph von im Intervall mit der -Achse einschließt. Weil der Graph von punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist, gilt:
    Im folgenden Schaubild wird der Sachverhalt verdeutlicht. Die Fläche, die der Graph oberhalb der -Achse mit dieser einschließt ist genau gleich groß wie die Fläche die der Graph unterhalb der -Achse mit dieser einschließt.
    Die Funktion hat im Intervall daher die ganzzahligen Nullstellen und .
  5. Es gibt einen weiteren Wert , sodass der orientierte Flächeninhalt, den der Graph von im Intervall mit der -Achse einschließt, Null ist. Im folgenden Schaubild ist dies veranschaulicht.
    Die Funktion hat damit eine weitere positive Nullstelle .
  6. Die Funktion ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades und damit ist die Funktion als Integralfunktion eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Also kann höchstens vier Nullstellen haben.
  7. Ein Ansatz für eine trigonometrische Funktion ist
    Es soll gelten:
    also
    Desweiteren soll gelten:
    Also:
    Es gilt:
    und damit soll gelten:
    Also:

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Die Funktion gibt die Kosten in 1000 Euro an, die bei der Produktion von Kubikmetern Flüssigkeit entstehen. Somit ist diejenige Stelle gesucht, an der sich die Graphen der Funktion und der Funktion schneiden. In Abbildung 2 wird daher zusätzlich zum Graphen von die Gerade eingezeichnet und der -Wert des Schnittpunktes abgelesen.
    Die Kosten für 7 Kubikmeter Flüssigkeit betragen Euro. Die Funktion ist monoton steigend, das heißt je mehr Flüssigkeit produziert wird, desto mehr Produktionskosten entstehen.
  2. Es gelten:
    und
    Beim Verkauf von 4 Kubikmetern Flüssigkeit erzielt das Unternehmen einen Gewinn von Euro und es entstehen Kosten von Euro. Damit macht das Unternehmen weder Gewinn noch Verlust bei einem Verkauf von 4 Kubikmetern Flüssigkeit.
  3. Im folgenden Schaubild ist zusätzlich zum Graphen der Funktion der Graph der Funktion eingezeichnet.
    Aus dem Schaubild kann abgelesen werden, dass das Unternehmen Gewinn erzielt, wenn es zwischen 4 und 8,5 Kubikmetern Flüssigkeit verkauft.
  4. Es gilt:
    Gesucht ist das Maximum von , daher werden zunächst die ersten beiden Ableitungen der Funktion bestimmt:
    Die Nullstellen von sind Kandidaten für die Extremstellen von . Daher werden nun die Nullstellen von bestimmt:
    also
    Es gelten:
    Der Graph von hat damit an der Stelle einen Tiefpunkt und an der Stelle einen Hochpunkt. Damit erzielt das Unternehmen bei einem Verkauf von ungefähr 6,646 Kubikmetern Flüssigkeit den höchsten Gewinn.