cross

Abi Bayern 2018 Analysis B2

Aufgabe

Aufgabe 1

Abbildung 1 zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades mit Definitionsmenge . schneidet die -Achse bei , und und verläuft durch den Punkt .

  1. Ermitteln Sie einen Funktionsterm von .
    Zur Kontrolle:
    (4 BE)
  2. Zeigen Sie, dass im Punkt einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an im Punkt .
    (6 BE)
  3. geht aus dem Graphen der in definierten Funktion durch eine Verschiebung in positive -Richtung hervor. Ermitteln Sie, um wie viel der Graph von dazu verschoben werden muss. Begründen Sie mithilfe der Funktion , dass der Graph von symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.
    (4 BE)

Im Folgenden wird die in definierte Funktion mit betrachtet.

  1. hat für zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Angaben.
    (3 BE)
  2. Begründen Sie mithilfe von Abbildung \ref{fig:18B-A-A2-1}, dass mindestens eine weitere positive Nullstelle hat.
    (2 BE)
  3. Begründen Sie, dass höchstens vier Nullstellen hat.
    (2 BE)
  4. Für gilt, dass der Graph von und der Graph einer trigonometrischen Funktion

    • die gleichen Schnittpunkte mit der -Achse besitzen
    • beide nicht unterhalb der -Achse verlaufen,
    • jeweils mit der -Achse eine Fläche des Inhalts einschließen.

    Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion .

    (6 BE)

Aufgabe 2

Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion mit beschrieben werden. Dabei gibt die Kosten in 1000 Euro an, die bei der Produktion von Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Abbildung 2 zeigt den Graphen von .

  1. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2

    • die Produktionsmenge an, bei der die Kosten Euro betragen.
    • das Monotonieverhalten von an und deuten Sie Ihre Angaben im Sachzusammenhang.
      (3 BE)

    Die Funktion mit gibt für den Erlös (in 1000 Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion gilt . Positive Werte von werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.

  2. Zeigen Sie, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.

    (2 BE)
  3. Zeichnen Sie den Graphen von in Abbildung 2 ein. Bestimmen Sie mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.
    (3 BE)
  4. Berechnen Sie, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
    (5 BE)