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Abi Bayern 2018 Geometrie A2

Aufgabe

Aufgabe 1

Die Punkte , und liegen in der Ebene .

  1. Bestimmen Sie eine Gleichung von in Normalenform.
    (4 BE)
  2. Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der -Achse an.
    (1 BE)

Aufgabe 2

Gegeben sind die Punkte , und sowie die Gerade , .

  1. Die Gerade verläuft durch die Punkte und . Zeigen Sie, dass sich und im Punkt senkrecht schneiden.
    (4 BE)
  2. Ein Punkt liegt auf und ist verschieden von . Geben Sie die besondere Bedeutung der Strecke im Dreieck an.
    (1 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Eine Gleichung der Ebene in Parameterform ist zum Beispiel gegeben durch:
    Ein Normalenvektor der Ebene kann mithilfe des Kreuzproduktes bestimmt werden:
    Damit ist eine Normalenform der Ebene gegeben durch
  2. Eine Geradengleichung der -Achse ist gegeben durch:
    Zunächst wird eine Koordinatengleichung der Ebene bestimmt:
    Der Punkt liegt auf der Ebene und mit ihm kann der Wert von bestimmt werden:
    und eine Koordinatengleichung der Ebene ist gegeben durch:
    Nun kann der Schnittpunkt der Ebene mit der -Achse berechnet werden:
    Die Koordinaten des Schnittpunkts der Ebene mit der -Achse sind .

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Eine Gleichung der Gerade ist gegeben durch:

Bestimmung des Schnittpunktes

Der Schnittpunkt der beiden Geraden und kann wie folgt berechnet werden:

Aus der Gleichung für die zweite Koordinate kann abgelesen werden:
Dieser Wert für wird in die Gleichung für die erste Koordinate eingesetzt:
Eine Probe in der Gleichung für die dritte Koordinate liefert eine wahre Aussage, denn:
Damit hat der Schnittpunkt der beiden Geraden und die Koordinaten und entspricht damit dem Punkt .

Nachweis, dass sich und senkrecht schneiden

Die Geraden und schneiden sich senkrecht, falls die Richtungsvektoren der beiden Geraden senkrecht stehen. Es gilt:

und folglich schneiden sich die beiden Geraden senkrecht im Punkt .
  1. Der Punkt liegt auf und ist verschieden von . In der nachfolgenden Skizze sind die Gerade und , sowie ein beispielhaftes Dreieck und der Punkt dargestellt.
    Weil sich die Geraden und im Punkt senkrecht schneiden, entspricht die Strecke der Höhe des Dreiecks .