Abi Bayern 2018 Stochastik A1

Aufgabe

Aufgabe 1

In Sonnenstadt gibt es Einfamilienhäuser, von denen mit einer Holzpelletheizung ausgestattet sind. Bei zwei Dritteln der Einfamilienhäuser mit Holzpelletheizung ist diese mit einer solarthermischen Anlage kombiniert. aller Einfamilienhäuser sind weder mit einer Holzpelletheizung noch mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet.

1. Stellen Sie zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf.
   (3 BE)
2. Ein zufällig ausgewähltes Einfamilienhaus ist mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat es eine Holzpellet"-heizung?
   (2 BE)

Aufgabe 2

Das abgebildete Baumdiagramm stellt ein zweistufiges Zufallsexperiment mit den Ereignissen und sowie deren Gegenereignissen und dar.

1. Bestimmen Sie den Wert von so, dass das Ereignis bei diesem Zufallsexperiment mit der Wahrscheinlichkeit eintritt.
   (2 BE)
2. Ermitteln Sie den größtmöglichen Wert, den die Wahrscheinlichkeit von annehmen kann.
   (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. In Sonnenstadt gibt es Einfamilienhäuser, von denen laut Aufgabenstellung mit einer Holzpelletheizung () ausgestattet sind. Zwei Drittel der Häuser mit Holzpelletheizung () besitzen auch eine solarthermische Anlage (), also Häuser. Die Hälfte aller Einfamilienhäuser, also Häuser, besitzen weder eine Holzpelletheizung noch eine solarthermische Anlage. Mit diesen Informationen kann nun die Vierfeldertafel vollständig ausgefüllt werden:
2. Die Wahrscheinlichkeit , dass ein zufällig ausgewähltes Einfamilienhaus, welches mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet ist, auch eine Holzpelletheizung hat, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit:
   Ein zufällig ausgewähltes, mit einer solarthermischen Anlage augestattetes, Einfamilienhaus hat mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa auch eine Holzpelletheizung.

Lösung zu Aufgabe 2

1. Nach den Pfadregeln für Baumdiagramme gilt für die Wahrscheinlichkeit , dass das Ereignis eintritt:
   Nach Aufgabenstellung soll gelten: , also
   Das Ereignis tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von ein, falls gilt.
2. In Aufgabenteil a) wurde die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis in Abhängigkeit von bestimmt und es gilt:
   Die Funktion
   ist linear in und monoton steigend. Außerdem gilt und damit hat die Funktion ihr Maximum an der Stelle . Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis kann maximal sein.