Abi Bayern Probeabitur Analysis A1

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion mit maximalem Definitionsbereich . Ihr Graph heißt .

1. Bestimmen Sie .
   (1 BE)
2. Bestimmen Sie die Nullstellen von sowie Art und Lage der Extrempunkte von .
   (4 BE)

Aufgabe 2

Gegeben ist die auf definierte Funktionen mit .

1. Bestimmen Sie die Gleichungen der Asymptoten des Graphen von .
   (2 BE)
2. Der Graph von wird verschoben. Der Schnittpunkt des Graphen von mit der -Achse besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten . Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion . Geben Sie eine Funktionsgleichung der Funktion an.
   (3 BE)

Aufgabe 3

Geben Sie jeweils die Gleichung einer Funktion an, welche die genannten Eigenschaften besitzt:

1. Die Funktion ist periodisch und hat die Wertemenge .
   (2 BE)
2. Die gebrochenrationale Funktion hat in eine doppelte Nullstelle und in eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von hat die Gerade mit der Gleichung als waagrechte Asymptote.
   (3 BE)

Aufgabe 4

Gegeben ist die Schar der in definierten Funktionen mit . Der Graph der Funktion heißt .

1. Jeder Graph hat genau einen Tiefpunkt. Bestimmen Sie die Gleichung einer Funktion , sodass die Tiefpunkte aller auf dem Graphen der Funktion liegen.

   (3 BE)

2. Bestimmen Sie den Wert des Parameters so, dass die Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle die Steigung hat.

   (2 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Es muss gelten, da man nicht durch Null teilen darf. Zudem dürfen im Argument der Logarithmusfunktion nur positive Werte stehen, also . Damit gilt:

2. Nullstellen

   Ein Bruch ist Null, wenn sein Zähler Null ist. Somit ist jede Nullstelle des Zähler, welche im Definitionsbereich der Funktion liegt, eine Nullstelle der Funktion:

   Es gilt und die Funktion hat für eine Nullstelle.

   Extrempunkte

   Dazu wird zunächst die erste Ableitung der Funktion mithilfe der Quotientenregel bestimmt:

   Für die Berechnung möglicher Extremstellen muss die Gleichung gelöst werden:
   Die Stelle liegt im Definitionsbereich und ist die einzig mögliche Extremstelle. Nun muss noch überprüft werden, ob an dieser Stelle ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt.

   Dazu wird mithilfe der Quotientenregel die zweite Ableitung der Funktion bestimmt:

   Es gilt:
   Der Graph von besitzt an der Stelle einen Hochpunkt. Nun wird noch der Funktionswert bestimmt:
   Der Graph der Funktion besitzt einen Hochpunkt mit den Koordinaten .

   Alternativer Weg
   Die Überprüfung, ob an der Stelle ein Minimum oder ein Maximum vorliegt, kann auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium erfolgen. Es gelten:

   Damit ist die Stelle eine Nullstelle der Funktion mit einem Vorzeichenwechsel von nach und der Graph der Funktion hat damit an der Stelle ein Maximum. Mit
   besitzt der Graph von einen Hochpunkt mit den Koordinaten .

Lösung zu Aufgabe 2

1. Hier ist sowohl nach senkrechten als auch nach waagrechten bzw. schiefen Asymptoten gefragt.

   Senkrechte Asymptoten

   Eine Polstelle ist eine Definitionslücke, also eine Nullstelle des Nenners, die nicht gleichzeitig Nullstelle des Zählers ist: - Nullstelle des Zählers: . - Nullstellen des Nenners: und . Damit hat die Funktion bei und Polstellen. Die Gleichungen der senkrechten Asymptoten des Graphen von sind gegeben durch und .

   Waagrechte / schiefe Asymptote

   Die Gleichungen von waagrechten oder schiefen Asymptoten einer gebrochenrationalen Funktion bestimmt man, indem man Zähler- und Nennergrad vergleicht. Bei der vorliegenden Funktion ist der Zählergrad und der Nennergrad . Somit ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad. In solch einem Fall gilt

   Die Gleichung der waagrechten Asymptote ist also gegeben durch .

2. Nullstellen

   Die Nullstellen der Funktion sind gegeben durch die Nullstellen des Zählers, die zum Definitionsbereich gehören. Die einzige Nullstelle des Zählers ist und liegt im Definitionsbereich, da nicht gleichzeitig Nullstelle des Nenners ist. Der Schnittpunkt mit der -Achse ist somit .

   Funktionsgleichung der verschobenen Funktion

   Der Punkt wird auf den Punkt verschoben, also Einheiten in positive -Richtung und Einheiten nach oben. Wenn man den Graphen einer Funktion um Einheiten in positive -Richtung verschiebt, so wird die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion bestimmt, indem im ursprünglichen Funktionsterm jedes durch ersetzt. Wenn man den Graphen einer Funktion um nach oben verschiebt, so wird die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion bestimmt, indem zum ursprünglichen Funktionsterm hinzuaddiert wird:

Lösung zu Aufgabe 3

1. Ein Beispiel für eine periodische Funktion ist die Sinusfunktion. Diese hat die allgemeine Form

   Dabei bestimmt
   • die Amplitude,
   • die Periodenlänge und
   • die Verschiebung in -Richtung.

   Die Funktion hat die Wertemenge . Die Differenz der -Werte von Hoch- und Tiefpunkt ist damit . Im Wertebereich der gesuchten Funktion beträgt die Differenz , damit muss die Amplitude sein.

   Für wäre . Der in der Aufgabe angegebene Wertebereich ist im Vergleich dazu um nach oben verschoben, also ist .

   Die Änderung der Periodenlänge hat keinen Einfluss auf den Wertebereich, man kann also wählen. Damit erfüllt folgende Funktion die geforderten Eigenschaften:

   Alternativer Weg
   Es gibt noch beliebig viele andere Funktionen, welche die Bedingungen erfüllen. Die Periodenlänge kann beliebig verändert werden. So ist auch folgende Funktion eine Funktion, welche die geforderten Eigenschaften erfüllt:

   Ein weiteres Beispiel:

2. Nullstellen

   Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind gegeben durch die Nullstellen des Zählers, welche keine Nullstellen des Nenners sind. Die Funktion hat laut Aufgabenstellung eine doppelte Nullstelle bei . Daher muss im Zähler der Faktor vorkommen, im Nenner darf dieser jedoch nicht stehen.

   Polstellen

   Eine Polstelle ist eine Nullstelle des Nenners, welche keine Nullstelle des Zählers ist. Laut Aufgabenstellung hat sie keinen Vorzeichenwechsel. Dies ist der Fall, wenn die Nullstelle zum Beispiel eine doppelte oder vierfache Nullstelle ist.

   Asymptoten

   Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion hat die -Achse, also die Gerade , als waagrechte Asymptote, wenn der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist.

   Funktionsgleichung

   Eine mögliche Funktionsgleichung ist also:

   Alternativer Weg
   Es gibt noch beliebig viele weitere Funktionen, welche die Bedingungen erfüllen. Diese könnten zum Beispiel noch weitere Nullstellen oder Polstellen haben. Ein weiteres Beispiel ist die folgende Funktion:

Lösung zu Aufgabe 4

1. Tiefpunkt

   Um den Tiefpunkt in Abhängigkeit von zu bestimmen, wird zunächst die Ableitung bestimmt:

   Für die Bestimmung der Extremstellen wird die Gleichung gelöst:
   Nun muss noch überprüft werden, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Hierzu wird zunächst die zweite Ableitung bestimmt:
   Wegen
   besitzt der Graph der Funktion an der Stelle einen Tiefpunkt. Es gilt:
   Der Tiefpunkt des Graphen von hat somit die Koordinaten .

   Funktionsgleichung

   Um die Gleichung der Funktion zu bestimmen, schreibt man die Koordinaten des Tiefpunktes als Gleichungen auf, und löst diejenige für die -Koordinate nach auf:

   Einsetzen von in die zweite Gleichung liefert die gesuchte Gleichung:
   Die Funktion , auf deren Graph die Tiefpunkte aller Graphen liegen, besitzt die Gleichung .

2. Die Steigung einer Tangenten in einem Punkt ist der Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle. Da die Steigung an der Stelle den Wert haben soll, muss also gelten:

   Die Tangente an den Graphen der Funktion hat an der Stelle die Steigung .