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Abi Bayern Probeabitur Analysis A2

Videolösungen

Aufgabe 1 (1/2)
Aufgabe 1 (2/2)
Aufgabe 2 (1/2)
Aufgabe 2 (2/2)

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion

mit maximaler Definitionsmenge . Der Graph von wird mit bezeichnet.
  1. Geben Sie und sowie an.
    (2 BE)
  2. Untersuchen Sie, ob Punkte mit waagrechter Tangente besitzt.
    (3 BE)

Aufgabe 2

Gegeben ist die auf ganz definierte Funktion . Der Graph von wird mit bezeichnet

  1. Charakterisieren Sie die einzige Nullstelle von .
    (1 BE)
  2. Ermitteln Sie das Krümmungsverhalten von und die Koordinaten seiner Wendepunkte.
    (3 BE)
  3. Begründen Sie, dass mit Ausnahme des Extrempunktes vollständig oberhalb der -Achse verläuft.
    (1 BE)

Aufgabe 3

Gegeben ist die auf ganz definierte Funktion .

  1. Ermitteln Sie alle Nullstellen von .
    (2 BE)
  2. Zeigen Sie, dass
    eine Stammfunktion von ist und berechnen Sie den Wert des Integrals .
    (4 BE)

Aufgabe 4

Die Abbildung zeigt den Graphen einer auf ganz definierten Funktion mit

und , , .
  1. Ermitteln Sie einen Funktionsterm von .
    (2 BE)
  2. Skizzieren Sie in diese Abbildung den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion .
    (2 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Maximaler Definitionsbereich

    Eine Definitionslücke der Funktion

    liegt vor, wenn der Nenner Null wird:
    Der maximale Definitionsbereich ist

    Bestimmung von

    Es gilt:

    Deshalb existieren die beiden Grenzwerte im Zähler und im Nenner und es folgt

    Bestimmung von

    Der Funktionsterm wird umgeformt, um den Grenzwert einfacher erkennen zu können. Es gilt:

    Aus folgt

    Alternativer Weg:
    Der Funktionsterm wird umgeformt, um den Grenzwert einfacher erkennen zu können. Es gilt:
    Aus folgt
    und damit:
  2. Der Graph besitzt einen Punkt mit waagrechter Tangente, wenn die Gleichung eine Lösung für besitzt. Die Ableitung der Funktion lässt sich zum Beispiel mit der Quotientenregel bestimmen. Es gilt:

    Für alle gilt
    und folglich , sodass der Graph im gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend ist. Der Graph besitzt keinen Punkt mit waagrechter Tangente.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Die Nullstellen von sind die Lösungen der Gleichung . Also die Lösungen der Gleichung:
    Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Also
    Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle an der Stelle und dies ist folglich eine Extremstelle von .
  2. Krümmungsverhalten

    Um das Krümmungsverhalten von zu untersuchen, wird die zweite Ableitungsfunktion von bestimmt. Die Ableitungen und von lassen sich nach Ausmultiplizieren des Funktionsterm bestimmen. Es gilt:

    und damit:
    Zunächst werden die Nullstellen von untersucht. Es gilt:
    Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Die Nullstellen von sind also gegeben durch:
    Außerdem gelten:
    Der Graph ist also linksgekrümmt für oder und rechtsgekrümmt für .

    Wendepunkte

    Die Nullstellen der zweiten Ableitung wurden bereits bestimmt:

    Weil die zweite Ableitung an diesen Stellen das Vorzeichen wechselt, besitzt der Graph dort Wendepunkte.

    Wegen

    sind die Koordinaten der Wendepunkte
  3. Eine Vorzeichenanalyse des Funktionsterms zeigt, dass sowohl für als auch für gilt: . Alle Punkte von mit Ausnahme des Tiefpunktes liegen oberhalb der -Achse.

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Um die Nullstellen von zu berechnen, werden die Lösungen der folgenden Gleichung bestimmt:

    Weil der Funktionsterm ein Produkt ist, kann wieder der Satz vom Nullprodukt angewendet werden Die Nullstellen von sind gegeben durch und die Lösungen der Gleichung:
    Die Gleichung lässt sich durch die Substitution lösen. Alle Nullstellen von sind mit , also alle ganzzahligen Vielfachen von .

    Ersetzt man nun rückwärts durch und dividiert durch , dann sind mit alle Nullstellen von .

    Die Menge der Nullstellen von sind die ganzen Zahlen.

  2. Nachweis der Stammfunktion

    Die Funktion ist eine Stammfunktion von , falls für alle gilt. Die Ableitungsfunktion von ist gegeben durch

    für alle und damit ist die Funktion eine Stammfunktion von .

    Berechnung des Integrals

    Falls eine Stammfunktion von ist, gilt:

    Die Funktion
    ist eine Stammfunktion von und damit gilt:

Lösung zu Aufgabe 4

  1. Der Schnittpunkt des Graphen mit der -Achse ist laut Abbildung . Es gilt:
    und damit
    Die Periode der Funktion lässt sich aus der Abbildung als Spannweite zwischen zwei Maxima oder Minima ablesen und beträgt . Es gilt:
    Die Amplitude ist der halbe Abstand der -Werte zwischen einem Maximum und einem Minimum des Graphen.
    Aus der Zeichnung können die Extrempunkte und abgelesen werden, sodass sich für der Wert
    ergibt. Der Funktionsterm von ist gegeben durch:
  2. Für die erste Ableitungsfunktion von gilt mithilfe der Kettenregel:

    Die Periode der Funktion ist dieselbe wie die von , die Amplitude ist . Die folgende Abbildung zeigt und (gestrichelte Linie): Die folgende Abbildung zeigt und (gestrichelte Linie):

    Alternativer Weg:
    Mithilfe der Kenntnisse über die Zusammenhänge zwischen dem Graphen einer Funktion und dem Graphen seiner ersten Ableitungsfunktion ist es möglich, den Graphen zu skizzieren:
    • An den Hochpunkten von besitzt eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach
    • An den Tiefpunkten von besitzt eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach
    • Jede Wendestelle von ist eine Extremstelle von

    Die folgende Abbildung zeigt und (gestrichelte Linie):