Abi Bayern Probeabitur Geometrie A1

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben sind die drei Punkte , und .

1. Zeigen Sie, dass das Dreieck gleichschenklig, aber nicht rechtwinklig ist.
   (3 BE)
2. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks .
   (2 BE)
3. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene , in welcher das Dreieck liegt.
   (2 BE)

Aufgabe 2

Gegeben sind die Ebene und die Gerade

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Gleichschenkligkeit des Dreiecks

   Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn genau zwei Seiten gleich lang sind. Die Länge einer Seite ist die Länge des Verbindungsvektors zwischen den Eckpunkten.

   Da ist das Dreieck gleichschenklig mit der Basis .

   Orthogonalität überprüfen

   Zwei Vektoren sind rechtwinklig zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Dies wird nun paarweise für alle drei Seiten überprüft.

   Das Dreieck hat folglich keinen rechten Winkel.

2. Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man zum Beispiel mit folgender Formel:

   Dabei ist die zur Grundseite gehörige Höhe. Um diese zu bestimmen gibt es mehrere Möglichkeiten.
   Bei einem gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe auf die Basis diese genau in der Mitte.
   Die Höhe lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
   Für die Längen der Seiten gilt nach Aufgabenteil a):
   Damit kann die Länge der Höhe bestimmt werden:
   Das bedeutet für den Flächeninhalt:

   Alternativer Weg
   Die Höhe teilt die Basis genau in der Mitte. Sei der Mittelpunkt der Strecke . Dann lassen sich die Koordinaten von wie folgt berechnen:

   Die Länge der Höhe ist dann gegeben als:
   Das bedeutet für den Flächeninhalt:

3. Zunächst bestimmt man eine Parametergleichung der Ebene , indem man einen der Eckpunkte, zum Beispiel , als Stützpunkt und die angrenzenden Dreieckskanten, also und , als Spannvektoren wählt:

   Um eine Koordinatengleichung der Ebene zu bestimmen, berechnet man zunächst den Normalenvektor als Kreuzprodukt der Spannvektoren:
   Damit erhält man einen Ansatz für die Koordinatengleichung:
   Um zu berechnen, setzt man nun zum Beispiel die Koordinaten des Stützpunktes ein:
   Damit lautet eine Koordinatengleichung der Ebene

Lösung zu Aufgabe 2

Um den Schnittpunkt der Ebene und der Geraden zu bestimmen, werden die Zeilen der Geradengleichung in die Ebene eingesetzt und die Gleichung nach aufgelöst: