Abi Bayern Probeabitur Stochastik A1

Aufgabe

Aufgabe 1

Auf einem Abiball möchten sich Personen für ein gemeinsames Foto nebeneinander aufstellen.

1. Geben Sie die Anzahl der Reihenfolgen an, in der sich die Abiturienten aufstellen können.
   (1 BE)
2. Zu den 5 Personen zählen Lisa und Paul, die ein Paar sind und beim Foto nebeneinander stehen möchten. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun für die 5 Personen, sich für das Foto zu positionieren?
   (2 BE)

Aufgabe 2

Markus schreibt am Montag einen Kurztest. Seine Lehrerin hat angekündigt, dass der Test aus Multiple-Choice-Fragen bestehen wird. Bei jeder Multiple-Choice-Frage ist genau eine Antwort richtig. Die Anzahl der vorgegeben Antwortmöglichkeiten ist bei jeder Multiple-Choice-Frage gleich, wird jedoch von seiner Lehrerin nicht verraten.

1. Markus hat keine Zeit zu lernen und beschließt, die Antworten zu raten. Wie viele Antwortmöglichkeiten dürfen die Fragen höchstens haben, damit Markus mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens eine Frage richtig beantwortet? Ist es realistisch, dass Markus mit dieser Wahrscheinlichkeit mindestens eine Frage richtig beantwortet?
   (3 BE)
2. Der Test gilt als bestanden, wenn der Fragen richtig beantwortet wurden. Formulieren Sie den Term für die Wahrscheinlichkeit, dass Markus den Test gerade besteht, wenn jede Frage Antwortmöglichkeiten hat.
   (1 BE)

Aufgabe 3

Der Anteil der Vegetarier in der Bevölkerung Deutschlands beträgt . Es werden zufällig Personen aus der Bevölkerung ausgewählt und befragt. Formulieren Sie in diesem Kontext unter Verwendung der Rechenregeln für Binomialkoeffizienten jeweils ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeiten durch den entsprechenden Term beschrieben werden kann:

• ,
• (3 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Die erste Person hat freie Plätze zur Auswahl. Die zweite Person kann aus Plätzen auswählen, die dritte aus Plätzen etc. Die Anzahl der Möglichkeiten, wie sich die Personen nebeneinander stellen können, beträgt also:
2. Lisa und Paul möchten auf dem Foto nebeneinander stehen. Im Modell betrachtet man nun die beiden zunächst als eine Person. Die Anzahl der Möglichkeiten, Personen auf Plätze zu verteilen, ist gegeben durch:
   Im Modell wurden Lisa und Paul als eine Person aufgefasst. Nun gibt es allerdings Möglichkeiten, wie sich Lisa und Paul aufstellen können. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, wie sich die Personen aufstellen können unter der Bedingung, dass Lisa und Paul nebeneinander stehen, beträgt somit:

Lösung zu Aufgabe 2

1. Im Folgenden bezeichnet die Anzahl der Antwortmöglichkeiten bei den Multiple-Choice-Fragen. Die Wahrscheinlichkeit eine Frage richtig zu beantworten ist gegeben durch:

   Für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses gilt:
   Bei dem Experiment handelt es sich um eine Bernoulli-Kette mit . Betrachtet wird folgendes Ereignis:
   Dann gilt
   Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Frage korrekt beantwortet wird, soll betragen. Es soll also gelten:
   Im nächsten Schritt wird diese Gleichung nach aufgelöst.
   Die Fragen dürfen also höchstens eine Antwortmöglichkeit haben, damit Markus zu mindestens eine Frage richtig beantwortet. Dies ist bei einem Multiple-Choice-Test ausgeschlossen und somit unrealistisch.

2. Das Lösen des Multiple-Choice-Tests entspricht einer Bernoulli-Kette, denn jede Frage wurde entweder richtig (Treffer) oder falsch (Niete) beantwortet. Außerdem ist die Wahrscheinlichkeit, die korrekte Antwort zu raten immer gleich. Die Wahrscheinlichkeit durch Raten genau korrekte Antworten bei Fragen zu geben, beträgt

Lösung zu Aufgabe 3

Die Anzahl der befragten Personen ist . Der Anteil der Vegetarier beträgt , somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine Person vegetarisch ernährt, gegeben durch .

• Der erste Term

  beschreibt die Gegenwahrscheinlichkeit des Ereignisses : "Genau zwei Personen sind keine Vegetarier" Das gesuchte Ereignis lautet somit "Keine Person, eine Person oder mehr als zwei Personen sind keine Vegetarier"

• Der zweite Term lässt sich wie folgt schreiben.

  Das Ereignis lautet somit "19 oder 20 von 20 Personen sind Vegetarier" bzw. "Mindestens 19 von 20 Personen sind Vegetarier" oder "Keine oder eine von 20 Personen ist kein Vegetarier" oder "Höchstens eine von 20 Personen ernährt sich nicht vegetarisch".