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Ableitung

Ableitungsregeln

In diesem Artikel lernst du ableiten

Lernziele

  • Du kannst sicher alle Abi-relevanten Funktionen ableiten.
  • Vor allem bei der Ableitung von Polynomen und e-Funktionen bist du bomben-sicher.
  • Du kannst die Kettenregel und Produktregel souverän anwenden.
Wenn du mathematisch verstehen möchtest, was Ableiten bzw. Differenzieren eigentlich ist, dann lese hier: Ableitung

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Eine Übersicht über die Ableitungen der Grundfunktionen

Die Ableitungen der wichtigsten Elementaren Funktionen und Regeln zum Nachschlagen

Wenn du mit den Ableitungsregeln noch nicht so vertraut bist, dann überspringe diesen Abschnitt.

  • Kettenregel für
  • Produktregel für
  • Quotientenregel für

Die Ableitung von Polynomen (ganzrationale Funktionen)

Ohne das Ableiten von Polynomen geht nichts im Abi

Zunächst ein paar Beispiele von Funktionen und deren Ableitungsfunktionen. Die entsprechende Ableitungsregel kommt nach den Beispielen.

Dahinter stecken folgende Regeln für die Ableitung der Potenzfunktion.

Eine Funktion der Form
hat die Ableitung
Zudem gilt:
  • Die Ableitung von Konstanten (bspw. ) ist .
  • Vorfaktoren bleiben bei der Ableitung erhalten. Bspw. hat die Ableitung
  • Summen werden getrennt abgeleitet. Wenn du bspw. ableiten möchtest, dann kannst du die Ableitungen von und getrennt ausrechnen und addieren. Das führt zu .

Das Ableiten von Polynomen (oder ganzrationalen Funktionen) ist essentiell fürs Abi. Es wäre jammerschade und unnötig, wenn du da Fehler machen würdest. Darum hier ein paar Aufgaben zur Festigung. Dein Ziel sollte sein, dass du diese Aufgaben ohne Nachdenken fehlerfrei lösen kannst.

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme die Ableitungen von

Lösung zu Aufgabe 1

  1. . (Die Ableitung von ist , Konstanten fallen bei der Ableitung weg.)
  2. Hier hilft es zunächst die Klammern auszumultiplizieren:
    Jetzt kannst du die Funktion ableiten und erhältst: .

Die Ableitung von e-Funktionen (Exponentialfunktionen)

Auch die Ableitung der Exponentialfunktion ist fürs Abi essentiell

Schau dir zunächst die folgenden Beispiele an. Die dahinterstehende Regel steht dann darunter.

Die Ableitungsregel für die Exponentialfunktion (e-Funktion) lautet:

  • Die Ableitung von ist . Die -Funktion und deren Ableitungsfunktion sind also identisch.
  • Die Ableitung von
    ist

Formal gesehen benötigt das Ableiten von die Kettenregel. Diese wird weiter unten ausführlich erklärt. Am besten ist, wenn du dir diesen Merksatz oben auch ohne Kettenregel einprägst. In fast allen Abi-Prüfungen musst du e-Funktionen ableiten. Um dabei Sicherheit zu erlangen und eventuelle Fehler zu vermeiden, sind hier ein paar Aufgaben.

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Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme die Ableitungen von

Lösung zu Aufgabe 2

  1. (Lass dich von nicht verwirren. Das ist nur eine Zahl - nämlich .)
  2. (Es ist )

Die Kettenregel verstehen und anwenden

Innere und äußere Funktionen erkennen.

Die Kettenregel benötigst du, wenn zwei Funktionen ineinander "verschachtelt" sind. Die Funktion

ist ein einfaches Beispiel einer solchen Verschachtelung. Man unterscheidet hier zwischen innerer und äußerer Funktion:
  • innere Funktion:
  • äußere Funktion:
Wenn du in die innere Funktion anstelle von in die äußere Funktion schreibst, dann erhältst du die ursprüngliche Funktion. Ersetzt du also bei das durch , dann erhältst du . Hierzu noch ein Beispiel

Die Funktion
hat die
  • innere Funktion und die
  • äußere Funktion: .

Bevor die Kettenregel vorgestellt wird und du damit rechnen kannst, zunächst ein paar Übungsaufgaben, damit du das Erkennen der inneren und äußeren Funktion festigst:

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme jeweils die innere und äußere Funktion.

Lösung zu Aufgabe 3

  1. innere Funktion: , äußere Funktion:
  2. innere Funktion: , äußere Funktion:
  3. innere Funktion: , äußere Funktion:
  4. innere Funktion: , äußere Funktion:
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Die Kettenregel

Etwas flapsig lautet die Kettenregel:

Innere Ableitung mal äußere Ableitung

Formaler kann man die Kettenregel so aufschreiben:

Besteht die Funktion aus der Verschachtelung zweier Funktionen (innere Funktion) und (äußere Funktion), also:
dann gilt für die Ableitung von :

Hierzu ein Beispiel:

Die Funktion
hat die innere Funktion und die äußere Funktion . Deren Ableitungen sind:
Somit kannst du die Ableitung mit der Kettenregel ("innere Ableitung mal äußere Ableitung") ausrechnen:

Die Kettenregel ist wichtig! In der folgenden Aufgabe kannst du ihre Anwendung üben. Weitere Übungsaufgaben findest du hier: Kettenregel

Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Leite ab. (Hinweis: Die inneren und äußeren Funktionen hast du schon in Aufgabe 3 identifiziert.)

Lösung zu Aufgabe 4

Die Produktregel verstehen und anwenden

Um das Produkt von zwei Funktionen ableiten zu können, musst du die Produktregel anwenden. Diese lautet:

Die Funktion
besitzt die Ableitung:

Hierzu ein Beispiel:

Gesucht ist die Ableitung von
Mach dir zunächst bewusst, dass die Funktion ein Produkt aus den Funktionen
ist. Die Ableitungen dieser Funktionen sind
Jetzt kannst du die Produktregel anwenden und erhältst:

Wie bei der Kettenregel besteht auch bei der Produktregel die Kunst darin, zu erkennen, wann du sie anwenden musst. Hierzu eine Übungsaufgabe.

Aufgabe 5

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme die Ableitungen von

Lösung zu Aufgabe 5

In den Lösungen bezeichnen und Funktionen, deren Produkt ist, also:

In allen Teilaufgaben werden die Funktionen und und deren Ableitungen angegeben und dann mit der Produktformel die Ableitungsfunkion berechnet.
  1. Mit
    folgt
  2. Mit
    folgt
  3. Mit
    folgt
  4. Hier musst du und getrennt ableiten. Denn diese zwei Ausdrücke bilden in Summme die Funktion . Zunächst wird die Ableitung von
    bestimmt. Dabei ist
    Und damit
    Das war ja nur die Ableitung des zweiten Summanden von . Jetzt darf die Ableitung von nicht vergessen werden. Man erhält dann:

Ein Abi-Tipp für die Produktregel

Wenn du im Abi eine Abeitung mit Hilfe der Produktregel bestimmst, dann kannst du den Expontentialausdruck - also - gut ausklammern.
Das ist wichtig, wenn du dann Extrem- oder Wendestellen berechnen musst. Hierzu ein Beispiel:
Angenommen, du musst die Extremstellen bestimmen von
Dann rechnest du zunächst die Ableitung aus. Mit der Produktregel erhältst du
Und jetzt kannst du wunderbar ausklammern und erhältst
Jetzt kannst du die Gleichung auch ganz einfach lösen. Mit dem Satz vom Nullprodukt ist
Da keine Lösung hat, musst du lösen.

Weitere Übungsaufgaben zur Produktregel findest du hier: Produktregel

Die Quotientenregel (für die, die sie kennen müssen)

Die Quotientenregel

Nicht in allen Bundesländer wird die Quotientenregel vorausgesetzt. Denn eigentlich braucht man sie gar nicht. Produkt- und Kettenregel genügen. Wer sie trotzdem wissen muss, hier ist sie:

Die Funktion
hat die Ableitung

Gesucht ist die Ableitung von
Mit
kannst du dann die Quotientenregel anwenden. Es ist
Es ist nicht nötig, dass du den Nenner ausmultipliziert. Aber auch nicht verboten.

Übungsaufgaben zur Quotientenregel findest du hier: Quotientenregel

Veröffentlicht: 05. 09. 2018, zuletzt modifiziert: 27. 09. 2018