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Kettenregel

Kettenregel

Vor Einführung der Kettenregel: Hilfreiche Umformungen

Viele Aufgabenstellungen zu Ableitungen oder Integrationen (und Kettenregel) sind mit diesen Umformungen deutlich einfacher zu lösen:

Ableitungen elementarer Funktionen

Beispiel

Beispiel

Kettenregel

Falls die Funktion als Hintereinanderausführung oder Verkettung der beiden Funktionen und geschrieben werden kann, also , dann gilt für die Ableitung folgende Beziehung:

In diesem Zusammenhang heißt die innere und die äußere Funktion von .
Statt schreibt man auch manchmal .

Beispiel

Gegeben ist die Funktion mit . Dann gilt mit obigen Bezeichnungen:

Die Ableitung der Funktion kann dann mit Hilfe der Kettenregel bestimmt werden:

Beispiel

Gegeben ist die Funktion mit . Dann gilt mit obigen Bezeichnungen:

Die Ableitung der Funktion kann dann mit Hilfe der Kettenregel bestimmt werden:

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Bilde jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen.

Lösung zu Aufgabe 1

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *

Leite folgende Funktionen ab:

Lösung zu Aufgabe 2

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: *

Leite folgende Funktionen ab:

Lösung zu Aufgabe 3

Aufgabe 4 – Schwierigkeitsgrad: *

Leite folgende Funktionen ab:

Lösung zu Aufgabe 4

Aufgabe 5 – Schwierigkeitsgrad: *

Gegeben ist für die Schar der Funktionen durch

Für welchen Wert von gilt ?

Lösung zu Aufgabe 5

Es gilt:

Setzt man nun , so erhält man die Gleichung
Dies führt zur Lösung .

Aufgabe 6 – Schwierigkeitsgrad: *

Gegeben ist die Funktion durch

An der Stelle hat der Graph der Funktion den Anstieg

Lösung zu Aufgabe 6

Mit Hilfe der Kettenregel erhält man:

Somit folgt .

Aufgabe 7 – Schwierigkeitsgrad: *

Bilde jeweils die erste Ableitung der Funktionenscharen:

Lösung zu Aufgabe 7

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018