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Ableitung

Differenzenquotient



Erklärung

Einleitung

Die Steigung einer Geraden ist überall gleich. Der Graph einer beliebigen Funktion besitzt meistens eine Steigung, die von der Stelle bzw. von dem Punkt des Graphen abhängt. In diesem Abschnitt lernst du, was unter der Steigung eines beliebigen Graphen einer Funktion zu verstehen ist.

  • Die durchschnittliche/mittlere Änderungsrate für eine Funktion in einem Intervall entspricht der Steigung der Gerade, die durch die zwei Punkte und verläuft. Man spricht hier auch von der Sekantensteigung. Sie lässt sich entsprechend der Betrachtung im Steigungsdreieck über den Differenzenquotienten berechnen.
    Also: Mittlere Änderungsrate = Steigung der Sekante = Differenzenquotient ("Quotient aus Differenzen")
  • Die momentane Änderungsrate ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Falls der Grenzwert existiert, gilt
    Der Punkt rückt dabei immer näher an den Punkt heran, sodass mit der Ableitung dann die Steigung der Tangente an den Graphen von im Punkt angegeben wird.
    Also: Ableitung = Momentane Änderungsrate = Steigung der Tangente = Differentialquotient (Grenzwert des Differenzenquotienten)
  • Von einer Änderung spricht man, wenn man nur eine einzelne Variable betrachtet.
  • Von einer Änderungsrate spricht man, wenn die Änderung einer (abhängigen) Variable in Beziehung (Größenverhältnis) zu der Änderung einer (freien) Variable gesetzt wird.

Ein Temperaturverlauf wird beschrieben durch die Funktion
mit in Stunden seit Beginn der Messung und in . Bestimme die mittlere Änderungsrate während der ersten sechs Stunden sowie die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt .
Für die mittlere Änderungsrate gilt:
Im Mittel steigt die Temperatur in den ersten Stunden also um . Für die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt gilt:
Die momentane Temperaturänderung nach Stunden beträgt damit: .

Ein Temperaturverlauf wird beschrieben durch die Funktion
mit in Stunden seit Beginn der Messung und in . Bestimme die mittlere Änderungsrate während der ersten sechs Stunden sowie die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt .
Für die mittlere Änderungsrate gilt:
Im Mittel fällt die Temperatur in den ersten Stunden also um . Für die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt gilt:
Die momentane Temperaturänderung nach Stunden beträgt damit:

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme für folgende Funktionen die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall :

Lösung zu Aufgabe 1

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Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Ein Bergprofil wird für beschrieben durch die Funktion mit

Dabei entspricht eine Längeneinheit . Ein Autofahrer möchte die Straße über den Berg nehmen. Davor befindet sich ein Schild, das eine mittlere Steigung von angibt. Überprüfe die Angabe auf dem Schild und finde heraus, ob der Autofahrer über den Berg kommen wird, wenn sein Auto für eine maximale Steigung von ausgelegt ist.

Lösung zu Aufgabe 2

Zunächst berechnet man die mittlere Steigung zwischen und . Es gilt

Eine Steigung von entspricht einer Steigung von . Somit ist das Schild korrekt. Um zu überprüfen, wie groß die Steigung an einem Punkt ist, bildet man die erste Ableitung der Funktion . Es gilt:
An der Stelle gilt , was einer Steigung von entspricht. Somit ist schon an dieser Stelle die Steigung des Hangs so groß, dass das Auto nicht mehr den Berg hinaufkommt. (Die Steigung wird für größere -Werte noch größer.)

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Ein Kuchen kühlt nach seiner Zubereitung ab. Der Abkühlvorgang wird durch die folgende Funktion beschrieben:

Dabei entspricht der nach dem Backvorgang verstrichenen Zeit in Minuten und der Temperatur des Kuchens in Grad Celsius. Wie schnell kühlt der Kuchen zu Beginn des Vorgangs ab? Berechne außerdem die durchschnittliche Temperaturveränderung für die ersten 12 Minuten. Um wie viel Grad unterscheidet sich diese von der momentanen Temperaturänderung zu Beginn?

Lösung zu Aufgabe 3

Bestimmung der momentanen Änderungsrate zu Beginn des Abkühlens

Um zu berechnen, wie groß die momentane Veränderung zu einem Zeitpunkt ist, bildet man die erste Ableitung. Es gilt:

Zum Zeitpunkt gilt , was einer momentanen Temperaturabnahme von Grad pro Minute entspricht.

Bestimmung der mittleren Änderungsrate

Die mittlere Steigung des Graphen von zwischen und ist gegeben durch:

Eine Steigung von entspricht einer Abnahme von ungefähr Grad Celsius pro Minute.

Vergleich der Ergebnisse

Somit unterscheidet sich die durchschnittliche Temperaturabnahme um etwa Grad Celsius pro Minute von der Abkühlgeschwindigkeit zu Beginn des Abkühlvorgangs.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 11:47:05 Uhr