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Ökonomie

Ökonomie

Beispiel

Eine Bäckerei verkauft Olivenbrot zu einem Stückpreis von 5 €. Die täglichen Kosten der Bäckerei sind gegeben durch die Funktion mit

hierbei beschreibt der Wert die Kosten in Euro für die Produktion von Broten.
Darüberhinaus fallen tägliche Fixkosten in Höhe von 35 € an. Zu Beginn wird davon ausgegangen, dass jedes Brot verkauft wird.

Aufstellen von Erlös- und Kostenfunktion

Gesucht sind die Erlös-und Kostenfunktion.

Der Erlös der Bäckerei entspricht der Anzahl der produzierten Einheiten mal dem Verkaufspreis. Also:

Die Kosten der Bäckerei setzen sich zusammen aus den Kosten für die produzierten Brote und den Fixkosten. Also:

Gewinnfunktion

Gesucht ist die Gewinnfunktion .

Der Gewinn der Bäckerei entspricht der Differenz aus Erlös und Kosten . Also:

Gewinnschwelle

Zeige, dass die Bäckerei bei 10 verkauften Broten pro Tag kostenneutral arbeitet.

Dies ist genau dann der Fall, wenn eine Nullstelle der Funktion ist.
Bestimme also :


Tipp: Oft ist es nicht möglich die Nullstelle von direkt zu berechnen, daher wird die Nullstelle oft in der Aufgabenstellung angegeben.

Gewinnzone

Bei welchen Stückzahlen wird Gewinn erwirtschaftet?

  • Anzahl Brote, so dass kostenneutral gearbeitet wird. Bestimme alle Nullstellen von . Beachte dabei, dass eine Nullstelle () schon bekannt ist. Um die Polynomdivision zu vereinfachen, kann man mit 400 durchmultiplizieren, die Nullstellen ändern sich dabei nicht.
    Die --Formel / Mitternachtsformel liefert folgende weitere Nullstellen ,.
  • Gewinnzone ermitteln. Setze Werte zwischen den Nullstellen in ein und überprüfe das Vorzeichen.
    Diese Werte können nun dazu verwendet werden, um die Intervalle, in denen positiv ist, zu ermitteln.

Die Bäckerei macht also genau dann Gewinn, wenn sie mindestens 11 und höchstens 69 Brote verkauft.

Maximaler Gewinn

Gesucht sind diejenigen Stückzahlen , für die der Gewinn maximal ist. Wie groß kann der Gewinn höchstens sein?

Bestimme die ersten beiden Ableitungen die Gewinnfunktion :

Bestimme nun die Nullstellen von mit Hilfe der --Formel / Mitternachtsformel.
Diese sind gegeben durch:
Untersuche die Art des Extremums. Es gilt:
Setze den gefundenen und gerundeten -Wert in die Gewinnfunktion ein.
Der maximale Gewinn von 142,56 € wird bei einer täglichen Produktion von 47 Broten erzielt.

Kurzfristige Preisuntergrenze (KPU)

Wie gering kann der Preis für ein Brot gewählt werden, damit unabhängig von der Anzahl der verkauften Brote die variablen Kosten der Bäckerei gerade noch erwirtschaftet werden?

  • Bestimmung der variablen Kosten.
    Die variablen Kosten sind in diesem Fall gegeben durch die Funktion .
  • Bestimmung der variablen Stückkosten.
    Stelle eine Gleichung für die variablen Stückkosten auf, indem du die variablen Kosten durch die Anzahl der verkauften Brote teilst.
  • Bestimmung des Extremums.
    Leite zunächst die Funktion ab und bestimme deren Nullstelle.
  • Bestimmung der KPU.
    Bestimme den Funktionswert von an der Stelle . Es gilt:
    Kurzfristig kann die Bäckerei den Preis für ein Brot also auf 0,50 € senken. Dann werden allerdings nur die variablen Kosten gedeckt. Die Fixkosten laufen ungedeckt weiter.

Beispiel

Zum 1. Januar 2015 hat die Bäckerei die Eigenproduktion der Olivenbrote eingestellt. Stattdessen werden nun Olivenbrote leicht verminderter Qualität bei einem Großhändler für € das Stück eingekauft und weiterhin zu einem Preis von € verkauft.
Da nun viel mehr Brote als zuvor verfügbar sind, spielt auch die Nachfrage eine Rolle. Saisonal bedingt wird der Absatz der Bäckerei durch folgende Funktion wiedergegeben

mit in Tagen seit 1.1.2015 und in Brote pro Tag.

Maximaler Absatz

An welchem Tag ist der Absatz maximal? Wie groß ist er?

Bestimme zunächst die erste Ableitung der Funktion und deren Nullstellen:

Bestimme nun den Funktionswert an dieser Stelle:
Am 10. Januar besteht ein Bedarf von Broten. Mehr Brote als an diesem Tag können nicht verkauft werden.

Je nach Fragestellung kann auf das Überprüfen einer Extremstelle mithilfe der 2. Ableitung verzichtet werden. Zum Beispiel, wenn in der Aufgabe steht, dass es ein Maximum gibt.

Schnellste Änderung des Absatzes

An welchem Tag nimmt der Absatz am stärksten ab?

Bestimme die zweite Ableitung der Funktion und bestimme der Nullstelle:

Am 20. Januar findet also der stärkste Absatzrückgang statt.

Gesamtwert aus Änderungsrate bestimmen

Wie groß ist der Gesamtabsatz in den ersten Tagen? Welcher Gewinn ist für die Bäckerei möglich?

(Hinweis: Eine Stammfunktion der Funktion ist gegeben durch .)

Der Gesamtabsatz bis zum Tag ist gegeben durch

  • Bestimmung des Funktionswertes Setze ein.
  • Ermittlung des Gewinns Pro Brot werden € Gewinn erwirtschaftet. Der Gesamtgewinn ist daher
    Die Bäckerei kann also in den ersten 30 Tagen insgesamt 4004 Brote verkaufen. Damit ist ein Gewinn von 12.012 € möglich.

Da es bei diesem Aufgabentyp oft schwierig ist, die Funktion zu integrieren, ist die Stammfunktion oft schon in der Aufgabe angegeben

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: **-***

Ein Handyhersteller produziert Handys, die er für 100 € pro Stück verkaufen kann. Seine Produktionsstätte verursacht tägliche Kosten in Höhe von €. Falls am Tag 100 Stück produziert werden, so entstehen Gesamtkosten in Höhe von € am Tag. Falls am Tag 300 Handys produziert werden, so entstehen Kosten in Höhe von € am Tag. Bei 100 Stück liegt die geringste Kostensteigerung vor. Bezeichne die Anzahl der täglich produzierten Handys. Es wird davon ausgegangen, dass jedes produzierte Handy auch verkauft wird.

  1. Stelle die Erlösfunktion auf.
  2. Die Kostenfunktion ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Bestimme den Funktionsterm von .
  3. Stelle die Gewinnfunktion auf.
  4. Zeige, dass der Hersteller bei einer täglich produzierten Stückzahl von Stück kostenneutral arbeiten kann. Bei welchen Stückzahlen macht der Hersteller Gewinn?
  5. Bei welcher Produktionsmenge wird der maximale Gewinn erzielt? Wie hoch ist dieser pro Tag?
  6. Da ein neues zPhone eines Konkurrenten veröffentlicht wurde, muss der Handyhersteller das Mobiltelefon zu einem günstigeren Preis abgeben. Was ist die kurzfristige Preisuntergrenze, so dass die variablen Kosten der Produktion gedeckt sind?

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Jedes Handy wird für 100 € verkauft, daher ist ein Term für die Erlösfunktion gegeben durch
  2. Der Ansatz für eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist

    Es gilt:

    Folgende Informationen sind gegeben:

Dies führt auf das folgende lineare Gleichungssystem:

Man erhält folgende Lösung des linearen Gleichungssystems:

Somit ist die Kostenfunktion gegeben durch
  1. Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Kosten. Es gilt also:
  2. Um zu zeigen, dass der Hersteller bei kostenneutral arbeitet, setzt man in die Gewinnfunktion ein. Es folgt
    Somit erzielt der Hersteller bei gerade keinen Gewinn. Um die Gewinnzone zu bestimmen, muss überprüft werden, in welchen Bereichen die Funktionswerte von positiv sind. Dazu benötigt man die übrigen Nullstellen. Damit die Rechnung etwas leichter fällt, kann man die Gewinnfunktion mit multiplizieren. Damit sind die Koeffizienten frei von Brüchen, die Nullstellen verändern sich jedoch nicht.
    Die Nullstelle von ist schon bekannt. Daher kann man eine Polynomdivision durchführen
    Man berechnet weiter die Lösungen der Gleichung:
    mit der pq-Formel bzw. Mitternachtsformel. Es gilt:
    Da zum Beispiel für der Erlös größer ist als die Kosten ist, es gilt , liegt die Gewinnzone zwischen und hergestellten Handys pro Tag.
  3. Um den maximalen Gewinn zu berechnen, untersucht man die Gewinnfunktion auf ein lokales Maximum. Dafür werden zunächst die ersten beiden Ableitungen gebildet.
    Mit der pq-Formel bzw. Mitternachtsformel erhält man die positive Nullstelle von als . Setzt man dies in die zweite Ableitung ein, so erhält man
    Somit liegt bei ein lokales Maximum vor. Schließlich gilt
    Der maximale tägliche Gewinn von 5940,16 € wird bei einer täglichen Produktionsmenge von 252 Handys erzielt.
  4. Um die kurzfristige Preisuntergrenze (KPU) zu bestimmen, werden zunächst die variablen Stückkosten aufgestellt. Der variable Anteil der Gesamtkosten ist gegeben durch:
    Teilt man diesen durch so erhält man die variablen Stückkosten :
    Von dieser Funktion wird nun das Minimum bestimmt. Dazu bildet man die ersten beiden Ableitungen von :
    Die Nullstelle von liegt bei und es gilt .
    Die KPU beträgt 47,92 €, d.h. kurzfristig kann der Preis bis ca. 48 € gesenkt werden.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018