cross

Exponentialfunktion (e-Funktion)

Exponentialfunktion (e-Funktion)

Merksatz

Die Funktion nennt man Exponentialfunktion.

  • Es gilt: für alle Werte von . Somit hat die Exponentialfunktion keine Nullstellen.
  • Es gilt: .
  • Für gilt .
  • Für gilt .

Die Exponentialfunktion wächst für sehr schnell gegen unendlich. Für jedes gilt insbesondere:

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Untersuche das Verhalten folgender Funktionen für :

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Für gehen und gegen unendlich. Also:
    Für geht jedoch schneller gegen als gegen unendlich. Also gilt:
  2. Es ist
    Da dominiert, folgt wie in Teil (a): und .
  3. Da für gilt:
    Für wächst sehr schnell gegen Unendlich. Also:
  4. Es ist

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *

Ordne die Graphen den folgenden Funktionen zu:

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Für die Funktion und deren Graph gelten folgende Eigenschaften:
    • Der Graph ist symmetrisch zur -Achse, denn es gilt:
      Damit können nur die Graphen , oder zur Funktion gehören.
    • Für die Ableitung gilt:
      Die Ableitung nimmt damit für positive Werte an und ist damit für monoton steigend. Damit kann der Graph nicht zur Funktion gehören. Es bleiben also noch die Graphen oder übrig.
    • Es gilt für alle . Der Graph gehört also zur Funktion .
  2. Für die Funktion und deren Graph gelten folgende Eigenschaften:
    • Der Graph ist symmetrisch zur -Achse, denn es gilt:
      Damit können nur die Graphen , oder zur Funktion gehören.
    • Für die Ableitung gilt:
      Die Ableitung nimmt damit für negative Werte an und ist damit für monoton fallend. Damit muss der Graph zur Funktion gehören.
  3. Für die Funktion und deren Graph gelten folgende Eigenschaften:
    • Es gilt für alle . Damit können nur die Graphen oder zur Funktion gehören.
    • Für die Ableitung gilt:
      Die Ableitung nimmt damit für positive Werte an und ist damit für monoton fallend.
      Der Graph gehört also zur Funktion .
  4. Für die Funktion und deren Graph gelten folgende Eigenschaften:
    • Es gilt für alle . Damit können nur die Graphen oder zur Funktion gehören.
    • Der Graph ist symmetrisch zur -Achse, denn es gilt:
      Der Graph gehört also zur Funktion .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018