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Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen

Merksatz

Die Funktion nennt man Sinusfunktion.

  • Für alle gilt: .
  • Die Sinusfunktion hat die Periode . Es gilt also: .
  • Die Nullstellen von sind (allgemein: mit ).

Beispiel

Gesucht sind die Nullstellen von im Intervall .
Es gilt:

Das ist gleichbedeutend mit:
Im Intervall ist die Menge der Nullstellen von also gegeben durch

Merksatz

Die Funktion nennt man Kosinusfunktion.

  • Für alle gilt: .
  • Die Kosinusfunktion hat die Periode . Es gilt also: .
  • Die Nullstellen von sind

.

Hinweis

Man erhält den Graphen der Kosinusfunktion, indem der Graph der Sinusfunktion um nach links verschoben wird:

Beispiel

Gesucht sind die Nullstellen von im Intervall .

Die Menge der Nullstellen von im Intervall ist also gegeben durch: .

Merksatz

Die allgemeine Sinusfunktion ist gegeben durch

  • Die Amplitude bestimmt den maximalen Ausschlag der Nulllinie in -Richtung.
  • Die Periode bestimmt die Periodenlänge .
  • Die Phasenverschiebung bewirkt eine Verschiebung entlang der -Achse, nach links für und nach rechts für .
  • Der Parameter bestimmt die Verschiebung in -Richtung.

Hinweis

Dies gilt genau so für die Kosinusfunktion.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion

Der Graph der Funktion soll skizziert werden. Um einen Aufbau der Funktion wie im Merksatz zu erhalten, klammert man zunächst den Faktor vor dem aus:
Man liest folgende Eigenschaften ab:
  • Amplitude:
  • Periodenlänge:
  • Verschiebung nach rechts:
  • Verschiebung nach oben: .

Man erhält folgende Skizze:

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen:

Lösung zu Aufgabe 1

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *

Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen:

Lösung zu Aufgabe 2

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: **

Gegeben ist die Funktion

Erkläre, wie das Schaubild von schrittweise durch Verschiebung und Streckung aus dem Schaubild von hervorgeht.

Lösung zu Aufgabe 3

  • Wird das Schaubild von um den Faktor in Richtung der -Achse gestreckt, so erhält man das Schaubild von:
  • Wird das Schaubild von um Längeneinheiten nach unten verschoben, erhält man das Schaubild von:
  • Wird das Schaubild von um den Faktor in -Richtung gestaucht, erhält man das Schaubild von:
  • Wird dann das Schaubild von um Längeneinheiten nach rechts verschoben, so erhält man schließlich das Schaubild der Funktion:

Aufgabe 4 – Schwierigkeitsgrad: *

Skizziere die Graphen folgender Funktionen.

Lösung zu Aufgabe 4

  1. Bringe den Funktionsterm zunächst auf die Standardform:
    Nun kann abgelesen werden:
    • Amplitude:
    • Periodenlänge:
    • Verschiebung nach links:
    • Verschiebung nach unten:
      Nun kann das Schaubild skizziert werden.
  2. Bringe den Funktionsterm zunächst auf die Standardform:
    Nun kann abgelesen werden:
    • Amplitude:
    • Periodenlänge:
    • Verschiebung nach links:
    • Verschiebung nach oben: Nun kann das Schaubild skizziert werden.

Aufgabe 5 – Schwierigkeitsgrad: *

Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen.

Lösung zu Aufgabe 5

  1. Bringe den Funktionsterm zunächst auf die Standardform:
    Nun kann abgelesen werden:
    • Amplitude:
    • Periodenlänge:
    • Verschiebung nach rechts:
    • Verschiebung nach oben: Nun kann das Schaubild skizziert werden.
  2. Bringe den Funktionsterm zunächst auf die Standardform:
    Nun kann abgelesen werden:
    • Amplitude:
    • Periodenlänge:
    • Verschiebung nach links:
    • Verschiebung nach unten: Nun kann das Schaubild skizziert werden.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018