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Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen

Die drei Typen von Exponentialgleichungen

  • Typ 1: Alle Exponential-Terme haben den gleichen Exponenten, zum Beispiel:
  • Typ 2: Es treten verschiedene Exponenten auf, aber dafür keine Zahlen, zum Beispiel:
  • Typ 3: Es treten verschiedene Exponenten und auch Zahlen auf, zum Beispiel:

Rezept Exponentialgleichungen Typ 1

Bestimme die Lösungen der Gleichung

  • Schritt 1: Isoliere den Exponentialterm:
  • Schritt 2: Logarithmiere beiden Seiten:
  • Schritt 3: Löse nach auf:

Rezept Exponentialgleichungen Typ 2

Bestimme die Lösungen der Gleichung .

  • Schritt 1: Bringe alles auf eine Seite:
  • Schritt 2: Klammere die kleinste -Potenz aus und beachte dabei die Potenzgesetze:
  • Schritt 3: Wende den Satz vom Nullprodukt an:
    Die Gleichung besitzt keine Lösung.
  • Schritt 4: Bestimme die Lösungsmenge der zweiten Gleichung:

Rezept Exponentialgleichungen Typ 3

Bestimme die Lösungen der Gleichung .

  • Schritt 1: Bringe alles auf eine Seite:
  • Schritt 2: Substitution: Setze :
  • Schritt 3: Löse die entstandene Gleichung mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen:
  • Schritt 4: Rücksubstitution: Löse :
    Es folgt also .

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Bestimme jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen:

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Wie im Rezept gilt:
    Es gilt und damit .
  2. Man rechnet wie im Rezept:
    Somit ist .
  3. Man rechnet wie im Rezept:
    Also ist .

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *

Bestimme jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Klammere den Faktor aus und beachte dabei die Potenzgesetze. Es gilt:
    Also ist .
  2. Multipliziere die gesamte Gleichung mit dem Faktor . Das verändert die Lösungsmenge nicht, weil gilt.
    Somit ist .

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: *

Löse folgende Gleichungen:

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Man kann die Gleichung zunächst durch teilen und alles auf eine Seite bringen:

    Man substituiert und löst die entstehende Gleichung mit der --Formel / Mitternachtsformel:
    Rücksubstitution liefert als einzige Lösung. Somit ist .
  2. Zu Beginn wird die gesamte Gleichung mit durchmultipliziert. Das verändert die Lösungsmenge nicht, weil gilt.

    Nun kann man weiter nach Rezept rechnen und die Lösungsmenge ist gegeben durch .
  3. Man rechnet wie in Aufgabenteil (b) und erhält .
  4. Man substituiert . Die enstehende Gleichung wird mit der --Formel / Mitternachtsformel gelöst:
    Nun führt man noch eine Rücksubstitution durch:
    Die Lösungsmenge ist dann gegeben durch .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018