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Grundlagen

pq-Formel

Erklärung

Einleitung

In diesem Artikel möchten wir dir zeigen, wie du quadratische Gleichungen mit Hilfe der -Formel löst.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Bevor wir mit dem Lösen quadratischer Gleichungen loslegen, möchten wir dich daran erinnern, was eine quadratische Gleichung überhaupt ist.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form

Dabei ist die Unbekannte und , und bekannte Koeffizienten. Den Ausdruck im Merkkasten nennt man auch eine quadratische Gleichung allgemeiner Form.

Die Normalform

Um mit der -Formel rechnen zu können, müssen wir unsere quadratische Gleichung aus der allgemeinen Form in die sogenannte Normalform umformen.

Beachte, dass gelten muss, sonst wäre es nicht erlaubt, durch zu teilen! Um gleich die -Formel leichter anwenden zu können, schreiben wir die Formel nun folgendermaßen um:

Die pq-Formel

Die -Formel lautet:

Diese Schreibweise ist vielleicht ungewohnt, bedeutet aber lediglich: Die Lösungen und für eine Gleichung der Art sind:

Von Schüler*innen wird nicht verlangt mit imaginären Zahlen zu rechnen. Sollte unter der Wurzel also eine negative Zahl stehen, könnt ihr für diese Lösung annehmen, dass die -Formel kein Ergebnis liefert.

Das ganze noch einmal zusammengefasst:

  1. Die quadratische Gleichung auf die Form bringen
  2. und bestimmen
  3. und in die -Formel einsetzen
  4. Lösung(en) ausrechnen

Beispiel

Die Lösungen der Gleichung ergeben sich mithilfe der -Formel folgendermaßen:

Damit ergibt sich die Lösungsmenge .

Die Diskriminante in der pq-Formel

Der Term, der in der -Formel unter der Wurzel steht, also

heißt Diskriminante der quadratischen Gleichung . Anhand der Diskriminante kann man erkennen, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.
  • : zwei Lösungen
  • : eine Lösung
  • : keine Lösung (siehe Hinweis fürs Abi)

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.

Lösung zu Aufgabe 1

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind die Funktionen und mit und . Berechne die Schnittpunkte der Graphen dieser Funktionen.

Lösung zu Aufgabe 2

Um die Schnittpunkte zu berechnen, werden zunächst die Gleichungen der beiden Funktionen gleichgesetzt:

Anwendung der -Formel: .

Da laut der Aufgabenstellung Schnittpunkte berechnet werden sollen, müssen die Funktionswerte zu den beiden -Werten bestimmt werden. Setze hierfür und entweder in die Gleichung für oder ein. Es gelten:

Die beiden Schnittpunkte der Graphen von und sind somit gegeben durch:

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind die Funktionen und durch und . Berechne die Schnittpunkte der Graphen von und .

Lösung zu Aufgabe 3

Um die Schnittpunkte zu berechnen, werden zunächst die Gleichungen der beiden Funktionen gleichgesetzt:

Anwendung der -Formel liefert und .

Da laut Aufgabenstellung die Schnittpunkte berechnet werden sollen, müssen nun noch die Funktionswerte zu den beiden -Werten bestimmt werden. Hierfür und entweder in die Gleichung von oder einsetzen. Es gelten:

Die Schnittpunkte der Graphen von und sind damit gegeben durch:

Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist für die Funktionenschar durch

Der Graph der Funktion heißt . Bestimme die Anzahl der Schnittpunkte von mit der -Achse in Abhängigkeit von .

Lösung zu Aufgabe 4

Die Anzahl Schnittpunkte von mit der -Achse entspricht der Anzahl der Lösungen der Gleichung :

Dividiere die Gleichung durch 2:
Wende die -Formel an:
Die Anzahl der Lösungen hängt von dem Term unter der Wurzel ab:

Aufgabe 5

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist für die Funktionenschar durch

Der Graph der Funktion heißt . Bestimme die Anzahl der Schnittpunkte von mit der -Achse in Abhängigkeit von .

Lösung zu Aufgabe 5

Die Anzahl Schnittpunkte von mit der -Achse entspricht der Anzahl der Lösungen der Gleichung :

Dividiere die Gleichung durch , um sie auf Normalform zu bringen. Es gilt:
Wende die -Formel an:
Die Anzahl der Lösungen hängt von dem Term unter der Wurzel ab:
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018