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Bestimmte Flächeninhalte und Flächeninhalte

Bestimmte Flächeninhalte und Flächeninhalte

Merksatz

Das bestimmte Integral drückt den orientierten Flächeninhalt aus, den der Graph von im Intervall mit der -Achse einschließt. Es gilt:

falls eine Stammfunktion von ist.

Der Flächeninhalt ist orientiert. Das bedeutet, dass Flächen oberhalb der -Achse positiv und Flächen unterhalb der -Achse negativ gewertet werden.

Beispiel

Das Integral von auf dem Intervall hat den Wert , da sich die Flächen oberhalb und unterhalb der -Achse genau aufheben.

Dies lässt sich auch wie folgt nachrechnen:
Ist man stattdessen am Flächeninhalt interessiert, der im Bereich zwischen und der -Achse eingeschlossen wird, so muss man das Integral entsprechend aufteilen und jeden Bereich getrennt ausrechnen. Dort, wo die Funktion unterhalb der -Achse verläuft, wird das Integral mit einem Minuszeichen versehen.

Es gilt:

Beispiel

Das Integral von auf dem Intervall hat den Wert , da sich die Flächen oberhalb und unterhalb der -Achse genau aufheben.

Dies lässt sich auch wie folgt nachrechnen:

Ist man stattdessen am Flächeninhalt interessiert, der im Bereich zwischen und der -Achse eingeschlossen wird, so muss man das Integral entsprechend aufteilen und jeden Bereich getrennt ausrechnen. Dort, wo die Funktion unterhalb der -Achse verläuft, wird das Integral mit einem Minuszeichen versehen.

Es gilt:

Merksatz

Verläuft der Graph der Funktion im Intervall oberhalb des Graphen der Funktion , so kann man die Fläche zwischen den Graphen von und mit der folgenden Formel bestimmen:

Bei dieser Formel ist es irrelevant, ob Teile des Graphen von oder unterhalb der -Achse verlaufen.

Beispiel

Gegeben sind die Funktionen

Es soll der Flächeninhalt , der von den Graphen der Funktionen und eingeschlossen wird, berechnet werden.

Zunächst bestimmt man die Integrationsgrenzen. Dazu berechnet man die Schnittstellen von und . Es folgt
Da der Graph von oberhalb des Graphen von verläuft, gilt:

Aufgabe 1

Schreibe zu beiden Schaubildern jeweils die markierten Flächen als Integral der Funktionen und .

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Es gilt für den schraffierten Flächeninhalt:
  2. Hier ist der Flächeninhalt gegeben durch

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *

Berechne folgende bestimmte Integrale:

Lösung zu Aufgabe 2

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: *

Bestimme für den Wert des Ausdrucks

Lösung zu Aufgabe 3

Man rechnet wie folgt:

Aufgabe 4 – Schwierigkeitsgrad: **

Für sei gegeben durch

Bestimme alle Werte von für die gilt:

Lösung zu Aufgabe 4

Zunächst berechnet man das Integral in Abhängigkeit des Parameters:

Dieses Ergebnis setzt man nun gleich 1:

Aufgabe 5 – Schwierigkeitsgrad: *

Bestimme mithilfe des GTR/CAS den Flächeninhalt, den diese Kurven mit der -Achse einschließen.

Lösung zu Aufgabe 5

  1. Grenzen: , . Wert des Integrals:
  2. Grenzen: , . Wert des Integrals:
  3. Grenzen: , . Wert des Integrals:
  4. Grenzen: , . Wert des Integrals:

Aufgabe 6 – Schwierigkeitsgrad: *

Bestimme die folgenden Integrale ohne Rechnung. Betrachte hierfür die Symmetrie der zu integrierenden Funktionen:

Lösung zu Aufgabe 6

  1. Der Integrand (d.h. die zu integrierende Funktion) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da
    Da der orientierte Flächeninhalt zwischen den Grenzen -1 und 1 bestimmt werden soll, heben sich die Flächen oberhalb und unterhalb der -Achse auf. Damit gilt:
  2. Wie im Teil (a) ist das Ergebnis auch hier . Auch hier ist der Integrand wieder punktsymmetrisch zum Ursprung.

Aufgabe 7 – Schwierigkeitsgrad: **

Auf einer Fahrradrennstrecke wird die Geschwindigkeit eines Radlers gemessen. Für eine Runde, die er innerhalb von 2 Minuten absolviert, wird die Geschwindigkeit beschrieben durch die Funktion

Hierbei wird in Minuten und in Kilometern pro Minute gemessen. Bestimme die Länge der Rennstrecke.

Lösung zu Aufgabe 7

Da Geschwindigkeit die Änderungsrate des zurückgelegten Weges ist, erhält man den zurückgelegten Weg durch Integration. Die Strecke, die der Radfahrer während 2 Minuten zurücklegt, beträgt

Also ist die Rennstrecke etwa lang.

Aufgabe 8 – Schwierigkeitsgrad: **

Das Wachstum einer Alge wird für die ersten 8 Monate näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben:

Hierbei wird in Monaten, und in Zentimeter pro Monat gemessen.
  1. Wie groß ist die Alge nach 3 Monaten?
  2. Die Alge wächst auf dem Grund eines Sees in 5 Metern Tiefe. Beim Brustschwimmen hängen die Zehen einer etwa großen Person bis zu einem Meter unter der Oberfläche. Nach wie vielen Tagen könnte ein Schwimmer mit dem Fuß gegen die Alge stoßen?

Lösung zu Aufgabe 8

Da es sich bei der gegebenen Funktion um eine Wachstumsrate handelt, erhält man die jeweilige Größe der Alge durch Integration.

  1. Die Größe der Alge beträgt nach 3 Monaten
    Nach 3 Monaten hat die Alge also eine Höhe von ca. .
  2. Der gesuchte Zeitpunkt berechnet sich aus:
    Nach circa 6,2 Monaten, genauer nach etwa 184 Tagen hat die Alge eine Höhe erreicht, sodass ein Schwimmer an sie stoßen kann.

Aufgabe 9

Schreibe zu allen drei Schaubildern jeweils die markierten Flächen als Integral der Funktionen und .

Lösung zu Aufgabe 9

  1. Der Flächeninhalt liegt unterhalb der -Achse zwischen und . Damit gilt für den Flächeninhalt:
  2. Der Flächeninhalt zwischen und im Intervall beträgt:
  3. Die schraffierte Fläche lässt sich in einen linken und einen rechten Teil aufteilen. Der linke Teil wird von und der Geraden begrenzt und erstreckt sich über das Intervall . Der Flächeninhalt des linken Teils beträgt:
    Für den rechten Teil gilt entsprechend:
    Also beträgt der gesamte Flächeninhalt:

Aufgabe 10 – Schwierigkeitsgrad: *

Gegeben ist die Funktion

Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen von und der -Achse eingeschlossen wird?

Lösung zu Aufgabe 10

Anhand der Produktdarstellung von lassen sich die Nullstellen der Funktion ohne Rechnung direkt ablesen:

Der gesuchte Flächeninhalt beträgt somit
Da der berechnete Wert positiv ist, folgert man, dass zwischen den beiden Nullstellen oberhalb der -Achse verläuft. Das berechnete Integral entspricht also dem tatsächlichen Flächeninhalt.

Aufgabe 11 – Schwierigkeitsgrad: *

Berechne die Flächen, die die Graphen der folgenden Funktionen einschließen:

Lösung zu Aufgabe 11

  1. Berechne zunächst die Schnittpunkte
    Es gilt für : . Somit gilt für den Flächeninhalt :
  2. Analog zu Aufgabenteil (a) gilt hier

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018