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Integralfunktion

Integralfunktion

Merksatz

Sei eine beliebige Funktion. Betrachte die Funktion

Eine Funktion dieser Bauart mit variabler oberer/unterer Grenze heißt Integralfunktion. Sie hat folgende Eigenschaften
  • Die untere Grenze (hier =1) ist stets Nullstelle von .
  • Die Ableitung von ist der Integrand, wobei durch ersetzt wird: .
  • Durch Integration von und Einsetzen der Grenzen erhält man eine explizite Darstellung von .
  • Der Funktionswert entspricht gerade dem, mit der -Achse eingeschlossenen, orientierten Flächeninhalt von ab der unteren Grenze bis zur Variable :

Beispiel

Es soll folgende Integralfunktion betrachtet werden:

Ohne weitere Rechnung sieht man: und .
Benötigt man eine geschlossene Gleichung von , so muss das Integral berechnet werden:

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: **

Betrachtet werden soll die Funktion

Der Graph der Funktion ist unten dargestellt.
  1. Beschreibe den Verlauf von in einer kleinen Umgebung von .
  2. Skizziere für den Graph von in untenstehendes Koordinatensystem.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Die Funktion ist die Ableitung von . An der Stelle hat einen Vorzeichenwechsel von nach , daher hat an der Stelle einen Hochpunkt. Weiter ist die untere Grenze in der Darstellung von , woraus folgt, dass bei eine Nullstelle hat.
  2. Mit der gleichen Argumentation wie oben folgert man, dass an der Stelle einen Tiefpunkt hat. Rechts davon steigt monoton an. An der Stelle wo die Fläche zwischen und unterhalb der -Achse ebenso groß ist, wie die Fläche rechts von wird eine Nullstelle haben.

Man erhält somit folgende Skizze:

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **

Die Funktion besteht aus zwei aneinandergesetzten Halbkreisen (siehe Zeichnung).

Betrachtet wird die Integralfunktion
  1. Bestimme die Werte von , und .
  2. Bestimme die Werte von und .
  3. Untersuche auf Wendepunkte.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Da es sich jeweils um Halbkreise mit Radius handelt, betragen die Flächeninhalte zwischen und bzw. zwischen und jeweils genau . Untersucht werden muss noch das jeweilige Vorzeichen. Für negative liegt der Graph der Funktion zwar oberhalb der -Achse, aber die untere Grenze des Integrals () ist größer als die obere Grenze (), daher gilt: . Für positive liegt der Graph von unterhalb der -Achse, woraus folgt, dass gilt. Schließlich ist die untere Grenze der Integralfunktion, woraus folgt.
  2. Liegen die Grenzen an den Stellen bzw. , so betrachtet man Viertelkreise. Die Vorzeichen ermittelt man wie in Teil (a). Es folgt .
  3. Die Funktion hat auf ihrem Definitionsbereich genau zwei Extrempunkte. Diese sind Wendepunkte von . Somit hat genau die zwei Wendestellen und .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018