Integralfunktion

Was Du in diesem Artikel über die Integralfunktion lernst

Lernziele

Du verstehst, wie eine Integralfunktion definiert ist.
Du lernst, was der Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Integralfunktion ist.
Du lernst, wie man eine Integralfunktion in eine "normale Funktion" umwandelt.
Du siehst, wie man eine Integralfunktion ableiten kann.
Du lernst, welche Tricks es gibt, die Nullstellen einer Integralfunktion zu bestimmen.

Integralfunktion: Definition und Grundwissen

Was ist eine Integralfunktion?

Eine Funktion heißt Integralfunktion, wenn sie von folgender Bauart ist:

Dabei ist

eine beliebige reelle Zahl und

eine weitere Funktion.

Folgende Funktion ist zum Beispiel eine Integralfunktion:

Geometrische Deutung der Integralfunktion

Die obenstehende Definition ist sehr abstrakt, daher hilft es, sich die Integralfunktion an einem Bild zu veranschaulichen.

Unten ist die Funktion g (eine Gerade) in orange eingezeichnet. Die untere Grenze a ist in diesem Beispiel a=1. Die Funktion f ist noch nicht eingezeichnet. Man erhält den Funktionswert von f an einer Stelle x, wenn man die Fläche unterhalb von g zwischen der unteren Schranke 1 und x bestimmt. Im Bild ist diese Fläche blau eingezeichnet. Wenn Du den Schieberegeler bedienst, siehst Du, wie sich auf diese Weise der Graph der Integralfunktion Punkt für Punkt entwickelt.

Wichtig dabei: Flächen unterhalb der -Achse sowie Flächen links von der unteren Grenze werden negativ gezählt.

Wichtige Eigenschaften der Integralfunktion

Sei die folgende Integralfunktion

gegeben:

Dann hat

folgende Eigenschaften:

Die untere Grenze des Integrals ist immer eine Nullstelle von . Es gilt also stets .
Die Ableitung von ist gerade die innere Funktion (dabei wird durch ersetzt). Es gilt also .

Sei

gegeben durch:

Ohne rechnen zu müssen, kann man sofort sagen, dass

eine Nullstelle von

ist und dass

gilt.

Wie hängen Stammfunktion und Integralfunktion zusammen?

Sei eine Integralfunktion gegeben durch:

Dann gibt es ein

mit

, wobei

irgendeine Stammfunktion von

ist. Das heißt, die Integralfunktion ist eine bestimmte Stammfunktion von

Die Integralfunktion

ist die Stammfunktion von

, die an der Stelle

, also an der unteren Grenze, eine Nullstelle hat. Ist

eine beliebige Stammfunktion von

, so gilt:

Berechnung der Integralfunktion

Von der Integralfunktion zur "normalen" Darstellung (ohne Integralzeichen)

Gegeben sei die folgende Integralfunktion:

Gesucht ist eine Darstellung von

ohne Verwendung des Integralzeichens.

Schritt 1: Bestimme eine Stammfunktion der inneren Funktion.

Die innere Funktion ist . Mithilfe der Integrationsregeln für ganzrationale Funktionen, erhält man eine Stammfunktion als:
Schritt 2: Setze die Grenzen ein.

Die Funktion erhält man, wenn man die Grenzen und in die Stammfunktion einsetzt und die Ergebnisse voneinander abzieht:

Somit ist

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sei die folgende Integralfunktion:

Bestimme eine Darstellung von ohne Integralzeichen, die Ableitung von sowie eine Nullstelle von .

Lösung zu Aufgabe 1

Eine Nullstelle von ist gegeben durch die untere Grenze . Die Ableitung von ist gerade die Funktion unter dem Integralzeichen, wenn man durch ersetzt:

Als letztes bestimmt man eine Darstellung ohne Integralzeichen. Dazu bestimmt man eine Stammfunktion

der inneren Funktion. Eine mögliche Stammfunktion ist:

Solltest Du Schwierigkeiten haben, die richtige Stammfunktion zu finden, schau Dir gerne nochmal unseren Artikel zu den Integrationsregeln an. Nun setzt man die Grenzen

und

in diese Stammfunktion ein:

Somit ist

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Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Betrachtet werden soll die Funktion

Der Graph der Funktion

ist unten dargestellt.

Beschreibe den Verlauf von in einer kleinen Umgebung von .
Skizziere für den Graph von in untenstehendes Koordinatensystem.

Lösung zu Aufgabe 2

Die Funktion ist die Ableitung von . An der Stelle hat einen Vorzeichenwechsel von nach , daher hat an der Stelle einen Hochpunkt. Weiter ist die untere Grenze in der Darstellung von , woraus folgt, dass bei eine Nullstelle hat.
Mit der gleichen Argumentation wie oben folgert man, dass an der Stelle einen Tiefpunkt hat. Rechts davon steigt monoton an. An der Stelle wo die Fläche zwischen und unterhalb der -Achse ebenso groß ist, wie die Fläche rechts von wird eine Nullstelle haben.

Man erhält somit folgende Skizze:

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Die Funktion besteht aus zwei aneinandergesetzten Halbkreisen vom Radius 1 (siehe Zeichnung).

Betrachtet wird die Integralfunktion

Bestimme die Werte von , und .
Bestimme die Werte von und .
Untersuche auf Wendepunkte.

Lösung zu Aufgabe 3

Da es sich jeweils um Halbkreise mit Radius handelt, betragen die Flächeninhalte zwischen und bzw. zwischen und jeweils genau . Untersucht werden muss noch das jeweilige Vorzeichen. Für negative liegt der Graph der Funktion zwar oberhalb der -Achse, aber die untere Grenze des Integrals () ist größer als die obere Grenze (), daher gilt: . Für positive liegt der Graph von unterhalb der -Achse, woraus folgt, dass gilt. Schließlich ist die untere Grenze der Integralfunktion, woraus folgt.
Liegen die Grenzen an den Stellen bzw. , so betrachtet man Viertelkreise. Die Vorzeichen ermittelt man wie in Teil (a). Es folgt .
Die Funktion hat auf ihrem Definitionsbereich genau zwei Extrempunkte. Diese sind Wendepunkte von . Somit hat genau die zwei Wendestellen und .