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Integrationsregeln

Integrationsregeln

Stammfunktionen elementarer Funktionen

Merksatz

Summen und Differenzen von Funktionen werden getrennt aufgeleitet. Konstante Faktoren bleiben stehen.

Beispiel

Gesucht ist eine Stammfunktion von

Entsprechend obiger Regel werden beide Summanden getrennt aufgeleitet. Die Faktoren und bleiben einfach stehen, also

Beispiel

Gesucht ist eine Stammfunktion von

Entsprechend obiger Regel werden beide Summanden getrennt aufgeleitet. Die Faktoren und bleiben einfach stehen, also

Lineare Substitution

Eine Verkettung der Form wird nach folgender Regel aufgeleitet:

In Worten: "Äußere Aufleitung mal den Kehrwert der inneren Ableitung."

Beispiel

Gegeben ist die Funktion .
Mit der Notation wie im Merksatz gilt:

Demnach gilt:

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Gib jeweils eine Stammfunktion von an:

  1. .

Lösung zu Aufgabe 1

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. Zunächst multipliziert man den Term aus und erhält
    Damit folgt
  6. Hier kürzt man zunächst einmal den Bruch mit durch:
    Es folgt

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **

Bestimme eine Stammfunktion der Kurvenschar .

Lösung zu Aufgabe 2

Die Zahl wird wie eine gewöhnliche Zahl behandelt. Beachte, dass nicht von abhängt. Es gilt:

Aufgabe 3

Finde jeweils die Stammfunktion zur Funktion , deren Graph durch den Punkt verläuft.

Lösung zu Aufgabe 3

Um die Stammfunktion durch den Punkt zu finden, bildet man zunächst eine allgemein Stammfunktion mit konstantem Term und setzt dann die Werte von ein, um herauszufinden, was ist.

Aufgabe 4

Bestimme jeweils eine Stammfunktion der folgenden Funktionen

Lösung zu Aufgabe 4

Aufgabe 5 – Schwierigkeitsgrad: *

Finde eine Stammfunktion folgender Kurvenschar

Lösung zu Aufgabe 5

Der Parameter wird wie eine gewöhnliche Zahl behandelt. Daher ergibt sich für die Stammfunktion

Aufgabe 6 – Schwierigkeitsgrad: *

Finde eine Stammfunktion folgender Kurvenschar

Lösung zu Aufgabe 6

Der Parameter wird wie eine gewöhnliche Zahl behandelt. Daher ergibt sich für die Stammfunktion

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018