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Logarithmische Substitution

Logarithmische Substitution

Logarithmische Substitution

Sei eine Funktion der folgenden Bauart:

Dann ist eine Stammfunktion von gegeben durch
Die Betragsstriche können oftmals weggelassen werden.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion

Der Zähler ist "fast"die Ableitung des Nenners. Nach einer kleinen Umformung gilt
Somit ist eine Stammfunktion von gegeben durch

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Finde jeweils eine Stammfunktion von :

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Man setzt . Dann ist und mit dem Merksatz zu logarithmischer Substitution erhält man
  2. Der Zähler ist gerade die Ableitung des Nenners. Also gilt .
  3. Es gilt
    Im hinteren Bruch steht im Zähler die Ableitung des Nenners. Es folgt
  4. Mit logarithmischer Substitution folgt .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018