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Numerische Integration

Numerische Integration

Merksatz

Gesucht ist die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der -Achse von bis .

Lässt sich keine Stammfunktion von bestimmen, so kann das gesuchte Integral näherungsweise durch Ober- oder Untersumme bestimmt werden.
Dazu wird das Intervall in gleichlange Streifen der Länge zerschnitten.

Als Untersumme bezeichnet man die Gesamtfläche an Streifen, deren Höhen bis zum jeweils niedrigsten Punkt auf der Streifenbreite reichen. Sie ist eine untere Abschätzung von .

Es gilt:

Als Obersumme bezeichnet man die Gesamtfläche an Streifen, deren Höhen jeweils bis zum höchsten Punkt über der Streifenbreite reichen. Sie ist eine obere Abschätzung von .

Es gilt:
  • Die Näherung kann weiter verbessert werden, wenn man den Mittelwert von und verwendet:
  • Für monoton steigende Funktionen sind die Formeln für Ober- und Untersumme genau vertauscht. In der Regel wird aber der Mittelwert der beiden Werte gesucht.

Beispiel

Gesucht ist die Fläche unter der Funktion zwischen 0 und 4. Um das Integral näherungsweise zu bestimmen zerlegt man die Fläche in 4 Streifen.
In diesem Fall ist

Dann gilt:
Weiter gilt:
Der exakte Wert des Integrals beträgt
Das arithmetische Mittel von Obersumme und Untersumme ist
Somit ist ersichtlich, dass der Mittelwert eine deutliche Verbesserung der Näherung gibt.

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Approximiere die Fläche zwischen der -Achse und den Graphen der folgenden Funktionen auf dem Intervall durch den Mittelwert aus Ober- und Untersumme. Unterteile dabei das Intervall in jeweils 4 Teilintervalle.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Die Obersumme beträgt:
    Die Untersumme beträgt:
    Damit lautet der gesuchte Näherungswert:
  2. Ähnliches Vorgehen führt zu .

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **

Folgender Ausdruck wird untersucht:

  1. Berechne exakt.
  2. Nähere durch die Obersumme bzw. die Untersumme an (jeweils mit ).
  3. Berechne den Mittelwert von Obersumme und Untersumme aus dem letzten Aufgabenteil.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Es gilt
  2. Für die Obersumme gilt:
    und für die Untersumme :
  3. Für den Mittelwert gilt

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018