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Partielle Integration

Partielle Integration

Regel: Partielle Integration

Sei eine Stammfunktion von . Dann gilt folgende Regel:

Ist der Term leichter aufzuleiten als der ursprüngliche Term, so ist dies ein Hinweis, partielle Integration anzuwenden.

Anwendung der partiellen Integration

Gesucht ist eine Stammfunktion von .

  • Schritt 1: Schreibe die Faktoren hin, und entscheide, welcher Faktor die Rolle von und welcher die Rolle von einnimmt. Im Folgenden ist dies durch Pfeile gekennzeichnet:
    Wähle hier und . Es ist dann und .
  • Schritt 2: Schreibe die Formel hin und setze ein:
  • Schritt 3: Löse das verbleibende Integral auf. Eventuell muss dabei erneut partielle Integration angewendet werden:
Bei der Produktintegration muss ein Faktor aufgeleitet, der andere abgeleitet werden. Dabei hat man freie Wahl.
Man wählt immer so, dass das Produkt möglichst einfach aufzuleiten ist. Ist ein Faktor eine -Funktion, ist es praktisch immer sinnvoll, sie aufzuleiten, also als zu wählen.

Beispiel

Ein schwieriger Spezialfall von partieller Integration wird im obigen Rezept noch nicht abgedeckt. Dieser wird im Beispiel erläutert.
Gesucht ist die Stammfunktion von

Partielle Integration liefert:
Das Integral kann man nicht direkt ausrechnen. Es kann allerdings erneut mit partieller Integration vereinfacht werden:
Jetzt ist man scheinbar genauso schlau wie vorher. Allerdings kann man jetzt das unbestimmte Integral wie eine Variable betrachten und danach auflösen. Es folgt die Gleichung:

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *-**

Bestimme jeweils eine Stammfunktion der folgenden Funktionen:

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Zweimalige Anwendung der Produktintegration wie im Beispiel ergibt:

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018