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Kurvendiskussion

Definitionsbereich

Erklärung

Einleitung

Bevor man mit der Kurvendiskussion des Graphen einer Funktion beginnt, muss man zunächst untersuchen, welche Werte man überhaupt in den Funktionsterm einsetzen kann. Die Menge aller dieser Werte nennt man dann Definitionsbereich (auch geschrieben) der Funktion . Der Definitionsbereich wird übrigens auch Definitionsmenge genannt.

Definitionsbereich = Definitionsmenge

Der maximale Definitionsbereich

Grundsätzlich kann der Definitionsbereich einer Funktion vom Aufgabensteller willkürlich festgelegt werden. So kann zum Beispiel der Verfasser einer Mathe-Abi Aufgabe entscheiden, dass die Funktion nur für das Intervall untersucht werden soll. Wenn das Ziel einer Aufgabe jedoch ist, den “Definitionsbereich zu bestimmen”, so ist damit der maximale Definitionsbereich gemeint. Die Frage lautet also:

Welche Werte für darf ich theoretisch in diese Funktion einsetzen?

Beispiel: Jeder weiß, dass man niemals durch Null teilen darf (Apokalypse vermeiden, etc.). Der Definitionsbereich der Funktion ist demnach , auch geschrieben. Wer mit dieser Schreibweise nicht allzu viel anfangen kann, liest am besten erst einmal den nächsten Abschnitt.

Wichtige Symbole

Es gibt nichts ärgerlicheres als die Bedeutung eines Symbols nicht zu kennen und deshalb eine Aufgabe nicht lösen zu können. Deshalb haben wir die wichtigsten Symbole für die Beschreibung von Mengen hier einmal zusammengefasst:

Zeichen Bedeutung
Definitionsmenge
oder Leere Menge
Menge bestehend aus etc.
Menge aller , die die Bedingung erfüllen
Vereinigung der Mengen und
Schnittmenge zwischen und
Menge ohne
Element von
Natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen einschließlich 0
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Irrationale Zahlen: Reelle Zahlen die nicht als Bruch darstellbar sind. Die Dezimaldarstellung einer irrationalen Zahl hat unendlich viele Stellen und ist nicht periodisch. Beispiel: , ,
Reelle Zahlen: alle Zahlen die auf dem Zahlenstrang darstellbar sind. Die reellen Zahlen bestehen aus den Rationalen und Irrationalen Zahlen
Alle positiven reellen Zahlen ohne 0
Alle positiven reellen Zahlen mit 0
Alle negativen reellen Zahlen ohne 0
Alle negativen reellen Zahlen mit 0

Definitionsbereich bestimmen

Den Definitionsbereich bestimmen bedeutet also lediglich: Herausfinden, welche Werte von man in eine gegebene Funktion nicht einsetzen darf. Dafür schaut man zuerst aus welchen Arten von Funktionen die betrachtete Funktion besteht und wendet dann die folgenden Regeln an.

Definitionsbereich ganzrationaler Funktionen

Ganzrationale Funktionen werden auch Polynomfunktionen genannt und haben die Form

Der Definitionsbereich von ganzrationalen Funktionen ist immer .

Definitionsbereich bei Brüchen

Man darf nicht durch Null teilen! Deshalb sind die Nullstellen des Nenners nicht im Definitionsbereich enthalten.

Der Definitionsbereich der Funktion ist gegeben durch .

Beispiel: Betrachtet wird die Funktion mit:

Hierbei ist zu beachten, dass der Nenner nicht Null werden darf. Der Nenner des Funktionstermes hat die Nullstellen und . Diese beiden Werte dürfen für also nicht eingesetzt werden. Damit ergibt sich als Definitionsbereich .

Definitionsbereich bei Wurzeln

Der Ausdruck in der Wurzel, der Radikand, muss größer oder gleich Null sein. Daraus folgt:

Der Definitionsbereich der Wurzelfunktion ist .

Beispiel: Es wird folgende Funktion betrachtet:

Zwei Faktoren sind zu beachten:
  • Unter der Wurzel darf keine negative Zahl stehen
  • Der Nenner darf nicht Null werden.
Damit ergibt sich als Definitionsbereich oder . Eine offene eckige Klammer beziehungsweise eine runde Klammer drückt aus, dass die Grenze nicht im Definitionsbereich enthalten ist.

Definitionsbereich der e-Funktion

Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion ist .

Definitionsbereich der Logarithmusfunktion

Der Definitionsbereich der natürlichen Logarithmusfunktion ist .

Beispiel: Betrachtet wird nun die Funktion

Das Argument, also die innere Funktion, muss Werte größer als liefern, damit man den Logarithmus ausführen kann. Dazu berechnet man zunächst die Nullstellen der inneren Funktion:
Da es sich hierbei um einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel handelt, muss man nur noch überprüfen, auf welcher Seite der Nullstellen die innere Funktion positiv ist. Man berechnet also zum Beispiel den Funktionswert der inneren Funktion an der Stelle :
Damit weiß man, dass die innere Funktion zwischen und positiv ist und erhält den Definitionsbereich:

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme den Definitionsbereich der folgenden Funktionen:

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Die Funktion ist nur an den Stellen und nicht definiert. Es ergibt sich also:
    Gelesen wird dies: .
  2. Zunächst muss man die Nullstellen der inneren Funktion bestimmen:
    Es handelt sich um eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Daher berechnet man jetzt zum Beispiel:
    Damit ergibt sich:
  3. Es gilt:

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist die Funktion mit maximalem Definitionsbereich .

  1. Bestimme .
  2. Bestimme dasjenige mit .

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Der Nenner darf nicht werden, also muss gelten. Damit erhält man: .
  2. Es gilt:

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist die Funktion mit maximalem Definitionsbereich .

  1. Bestimme .
  2. Bestimme dasjenige mit .

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Die Einschränkungen des Definitionsbereichs werden sowohl von der Wurzelfunktion als auch der Logarithmusfunktion verursacht. Das Argument im muss positiv sein. Damit sind alle negativen Zahlen und die bereits ausgeschlossen und es bleibt maximal .

Für die Wurzelfunktion gilt: Der Radikand muss nichtnegativ sein. Es muss also gelten:

Also gilt für den Definitionsbereich :
1. Es gilt:
Weil quadriert wurde, muss eine Probe durchgeführt werden. Es gilt:
Damit ist das gesuchte gerade .
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 27. 03. 2018